ตัวแปรเสริมสโตกส์

ตัวแปรเสริมสโตกส์ (Stokes parameters) เป็นชุดของค่าสี่ค่าที่ใช้อธิบายสถานะของโพลาไรเซชัน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตาม จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ ซึ่งเป็นผู้เสนอขึ้นในปี 1852

ตัวแปรเสริมสโตกส์ I, Q, U และ V

ตัวแปรเสริมเหล่านี้มักจะถูกเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์สโตกส์ (Stokes vector) โดยแสดงเป็นฟังก์ชันของความเข้มรวมของลำแสง ระดับของโพลาไรเซชัน และตัวแปรเสริมที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเชิงวงรีของการโพลาไรซ์ ใช้เพื่ออธิบายแสงทั้งที่ไม่โพลาไรซ์ โพลาไรซ์บางส่วน และโพลาไรซ์ทั้งหมด ต่างจากวิธีการคำนวณของโจนส์ ซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น การแทนด้วยค่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการทดลอง เนื่องจากแต่ละค่าสอดคล้องกับผลรวมหรือความแตกต่างของความเข้มที่วัดได้ง่าย

ผลของระบบทางแสงที่มีต่อโพลาไรเซชันของแสงสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์สโตกส์สำหรับแสงที่ตกกระทบและใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์สโตกส์ของแสงขาออกจากระบบ

หลักการ

แก้

เรามักจะนำตัวแปรเสริมสโตกส์มาเขียนรวมเป็นเวกเตอร์สโตกส์ ดังนี้:

 

เราสามารถมองว่าตัวแปรเสริมสโตกส์เป็นความเข้มทั่วไปสามค่า

  •  : ความเข้มทั้งหมดที่วัดได้รวมกัน
  •  : ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบวงกลม ซึ่งอาจมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน
  •  : ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่อธิบายความเอียง   ของทิศทางของโพลาไรเซชัน

สำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมด ซึ่งมีสถานะโพลาไรซ์แบบเดียวกันทั้งหมด สามารถแสดงได้เป็น

 

สำหรับลำแสงโพลาไรซ์บางส่วน ตัวแปรเสริมสโตกส์จะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ย สมการก่อนหน้าจะกลายเป็นอสมการ[1]:

 

โดย   เรียกว่าเป็น อัตราโพลาไรเซชัน

คำจำกัดความ

แก้

เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร

คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น   และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า   และ   อธิบายด้วยฐาน   หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส   และสถานะโพลาไรเซชัน   โดย   คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี

องค์ประกอบสนามไฟฟ้า

แก้

ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย

 

โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ( ) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง ( ) และฐานวงกลม ( ) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย  

 

รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน

ในฐาน ( ) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย

 

ในฐาน   แสดงได้เป็น

 

และในฐาน  :

 

ในรูปของวงรี

แก้
 
วงรีของโพลาไรเซชันและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:

 

และในทางกลับกัน:

 

ในพิกัดทรงกลม

แก้
 
 
วงรีโพลาไรเซชัน แสดงความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมปวงกาเรกับค่า ψ และ χ

ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร

 

ในที่นี้  ,   และ   คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า   แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า   บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90

สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

 

ตัวอย่าง

แก้
 
ภาพอธิบายสถานะโพลาไรซ์บนทรงกลมปวงกาเร

ตารางต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สโตกส์สำหรับสถานะโพลาไรเซชันของแสงที่พบได้บ่อย

โพลาไรเซชัน เวกเตอร์สโตกส์ โพลาไรเซชัน เวกเตอร์สโตกส์
เส้นตรงแนวนอน   เส้นตรงแนวตั้ง  
วงกลมวนซ้าย   วงกลมวนขวา  
เส้นตรงเฉียง   องศา   ไม่โพลาไรซ์  

 

อ้างอิง

แก้
  1. H. C. van de Hulst "Light scattering by small particles", Dover Publications, New York, 1981, ISBN 0-486-64228-3, page 42.