เปิดเมนูหลัก

ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา

เนื้อหา

นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียนแก้ไข

ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตัวและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี 2376 โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ 1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation) 2. หลักการแปรผัน (Variational Principle) เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
 
โดย   คือพิกัดทั่วไป   คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ   คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ

เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว   ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space

ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ
 
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)

ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไปแก้ไข

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด   ตัว
 
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน
 
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว   ได้โดย
 
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
 
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
 

ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้

ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียนแก้ไข

เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2 เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ   เราจะได้
 
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย   ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ   ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์   เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
 
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
 
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
 
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ   จะพบว่า
 
และเมื่อใช้นิยามของ   จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
 
นอกจากนั้นเราพบว่า
 
และ
 
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร   และ   ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์

ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์

การแปลงแบบคาโนนิคัลแก้ไข

การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด   ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่   ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น   และ  

กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง   และ   ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน   ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง

 

จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน   ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล การจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันกำเนิด (Generating Function) เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิม กับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์

1.  

2.  

3.  

4.  

ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียนแก้ไข

การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติแก้ไข

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
 
โดย   คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ   คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด   คือ
 
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด   ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
 
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 
สังเกตว่า
 
เมื่อ   คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ   คือพลังงานศักย์ของระบบ

การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)แก้ไข

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
 
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
 
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
 
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
 
และ
 
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
 

 
สังเกตว่าอัตราเร็ว   เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด   เองและฟังก์ชันของพิกัด   ด้วย

ในกรณีนี้จะได้
 
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน

อนุภาคในสนามไฟฟ้าแก้ไข

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ( ) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
 
โดยที่   คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค   คือศักย์สเกลาร์

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
 
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum   ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้

อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กแก้ไข

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ( ) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
 
โดยที่   คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
 
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum  

ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป   ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก

เมื่อใดที่ H = T + Vแก้ไข

ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน   เมื่อ   คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ   คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

กรณีทั่วไปแก้ไข

[1]เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
 
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
 
โดยที่   อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
 
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
 
เมื่อ   คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
 
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
 
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)

สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
 
โดยที่   และ   อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
 
ดังนั้น
 
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด"  

ตัวอย่างแก้ไข

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
 
เป็นฟังก์ชันของ   โดย   และ   ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้

ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม   ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์

เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์แก้ไข

สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา

ตัวอย่างแก้ไข

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
 
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
 
ดังนั้น
 

อนุภาค relativisticแก้ไข

[2] ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา   เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์   ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
 
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง

ในกรณีที่เราเลือก   ที่ทำให้
 
เราจะสามารถใช้   เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร  

ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
 
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
 
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime   คือ
 
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
 


สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
 
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ   ที่ลากระหว่างจุด   ใดๆกับจุด   จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
 
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
 
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน

วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่แก้ไข

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่   และหลักที่   คือ
 
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
 
ก็ต่อเมื่อ
 

ส่วนในกรณีที่
 
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง [3][4]

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบีแก้ไข

การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม   ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น   การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น

  -----1
  -----2

สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ

 

เมื่อ   เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ  เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า  และแฮมินโทเนียนใหม่  ได้ดังสมการ

 

โดย   เป็น Generating function หรือฟังก์ชันกำเนิด ดังนั้น ถ้า   ฟังก์ชัน  จะเป็นไปตามสมการ

 

ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น

 

โดยที่   เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)

สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้

วงเล็บปัวส์ซองแก้ไข

เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตัล สามารถให้หาการขึ้นกับเวลาของ   ในปริภูมิเฟส จากความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาสมการการเคลื่อนที่ของฟังก์ชัน F(q, p; t) ใดๆ ได้โดยใช้วงเล็บปัวส์ซอง (Poisson bracket) เสนอโดย Siméon Denis Poisson (1781–1840)

สำหรับฟังก์ชัน   และ   ใดที่ขึ้นกับตัวแปรคาโนนิคัล (q, p) เขียนนิยามของวงเล็บปัวส์ซองได้เป็น

 

สมบัติของสมการวงเล็บปัวส์ซองที่เป็นพื้นฐานและถูกใช้บ่อย คือ

 

โดยที่ δij คือ Kronecker delta.

สมบัติของวงเล็บปัวส์ซองแก้ไข

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  [5]

พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์

สมบัติของค่าคงที่ของการเคลื่อนที่แก้ไข

วงเล็บปัวส์ซองไม่สามารถหาคำตอบของที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ได้ แต่มีประโยชน์มากในการใช้อธิบายและหาสมบัติของการเป็น Constant of motion ของการเคลื่อนที่ โดยค่าคงที่ดังกล่าวนี้จะเปลี่ยนไปกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวส์ซอง สมมติว่าฟังก์ชัน f(p, q) เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ หมายความว่า ถ้า p(t), q(t) เป็นวิธีการแก้สมการแฮมิลโทเนียนของการเคลื่อนที่ ดังนั้น

 

ตลอดการเคลื่อนที่ จากนั้น

 

อ้างอิงแก้ไข

  1. Lanczos, Cornelius (1986), The Variational Principles of Mechanics, Dover, ISBN 978-0486650678
  2. [Elias] (2007), String Theory in a Nutshell, Princeton University Press, ISBN 978-0691122304 Check |author-link1= value (help)
  3. Dirac, Paul A.M. (2001), Lectures on Quantum Mechanics, Dover, ISBN 978-0486417134
  4. Henneaux, Marc (1994), Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, ISBN 978-0691037691 Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
  5. https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket