ผู้ใช้:Robosorne/กระบะทราย 5

In ทฤษฎีระบบควบคุม, ปัญหาเกาส์เซียนกำลังสองเชิงเส้น อังกฤษ: linear-quadratic-Gaussian (LQG)control problem is one of the most fundamental optimal control problems. It concerns uncertain linear systems disturbed by additive white Gaussian noise, having incomplete state information (i.e. not all the state variables are measured and available for feedback) and undergoing control subject to quadratic costs. Moreover the solution is unique and constitutes a linear dynamic feedback control law that is easily computed and implemented. Finally the LQG controller is also fundamental to the optimal perturbation control of non-linear systems.

The LQG controller is simply the combination of a Kalman filter i.e. a linear-quadratic estimator (LQE) with a linear-quadratic regulator (LQR). The separation principle guarantees that these can be designed and computed independently. LQG control applies to both linear time-invariant systems as well as linear time-varying systems. The application to linear time-invariant systems is well known. The application to linear time-varying systems enables the design of linear feedback controllers for non-linear uncertain systems.

The LQG controller itself is a dynamic system like the system it controls. Both systems have the same state dimension. Therefore implementing the LQG controller may be problematic if the dimension of the system state is large. The reduced-order LQG problem (fixed-order LQG problem) overcomes this by fixing a-priori the number of states of the LQG controller. This problem is more difficult to solve because it is no longer separable. Also the solution is no longer unique. Despite these facts numerical algorithms are available to solve the associated optimal projection equations which constitute necessary and sufficient conditions for a locally optimal reduced-order LQG controller.

Finally, a word of caution. LQG optimality does not automatically ensure good robustness properties. The robust stability of the closed loop system must be checked separately after the LQG controller has been designed. To promote robustness some of the system parameters may be assumed stochastic instead of deterministic. The associated more difficult control problem leads to a similar optimal controller of which only the controller parameters are different.

Mathematical description of the problem and solution

Continuous time

Consider the linear dynamic system,

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),$

where ${\mathbf {x} }$ represents the vector of state variables of the system, ${\mathbf {u} }$ the vector of control inputs and ${\mathbf {y} }$ the vector of measured outputs available for feedback. Both additive white Gaussian system noise $\mathbf {v} (t)$ and additive white Gaussian measurement noise $\mathbf {w} (t)$ affect the system. Given this system the objective is to find the control input history ${\mathbf {u} }(t)$ which at every time ${\mathbf {} }t$ may depend only on the past measurements ${\mathbf {y} }(t'),0\leq t'<t$ such that the following cost function is minimized,

$J=E\left({\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int _{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right),$

$F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,$

where ${\mathbf {} }E$ denotes the expected value. The final time (horizon) ${\mathbf {} }T$ may be either finite or infinite. If the horizon tends to infinity the first term ${\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(T)F{\mathbf {x} }(T)$ of the cost function becomes negligible and irrelevant to the problem. Also to keep the costs finite the cost function has to be taken to be ${\mathbf {} }J/T$.

The LQG controller that solves the LQG control problem is specified by the following equations,

${\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+K(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}(0)=E\left({\mathbf {x} }(0)\right)$

${\mathbf {u} }(t)=-L(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).$

The matrix ${\mathbf {} }K(t)$ is called the Kalman gain of the associated Kalman filter represented by the first equation. At each time ${\mathbf {} }t$ this filter generates estimates ${\hat {\mathbf {x} }}(t)$ of the state ${\mathbf {x} }(t)$ using the past measurements and inputs. The Kalman gain ${\mathbf {} }K(t)$ is computed from the matrices ${\mathbf {} }A(t),C(t)$, the two intensity matrices $\mathbf {} V(t),W(t)$ associated to the white Gaussian noises $\mathbf {v} (t)$ and $\mathbf {w} (t)$ and finally $E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right)$. These five matrices determine the Kalman gain through the following associated matrix Riccati differential equation,

${\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),$

$P(0)=E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right).$

Given the solution $P(t),0\leq t\leq T$ the Kalman gain equals,

${\mathbf {} }K(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t)$

The matrix ${\mathbf {} }L(t)$ is called the feedback gain matrix. This matrix is determined by the matrices ${\mathbf {} }A(t),B(t),Q(t),R(t)$ and ${\mathbf {} }F$ through the following associated matrix Riccati differential equation,

$-{\dot {S}}(t)=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),$

${\mathbf {} }S(T)=F.$

Given the solution ${\mathbf {} }S(t),0\leq t\leq T$ the feedback gain equals,

${\mathbf {} }L(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).$

Observe the similarity of the two matrix Riccati differential equations, the first one running forward in time, the second one running backward in time. This similarity is called duality. The first matrix Riccati differential equation solves the linear-quadratic estimation problem (LQE). The second matrix Riccati differential equation solves the linear-quadratic regulator problem (LQR). These problems are dual and together they solve the linear-quadratic-Gaussian control problem (LQG). So the LQG problem separates into the LQE and LQR problem that can be solved independently. Therefore the LQG problem is called separable.

When ${\mathbf {} }A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)$ and the noise intensity matrices $\mathbf {} V(t)$, $\mathbf {} W(t)$ do not depend on ${\mathbf {} }t$ and when ${\mathbf {} }T$ tends to infinity the LQG controller becomes a time-invariant dynamic system. In that case both matrix Riccati differential equations may be replaced by the two associated algebraic Riccati equations.

Discrete time

Since the discrete-time LQG control problem is similar to the one in continuous-time the description below focuses on the mathematical equations.

Discrete-time linear system equations:

${\mathbf {x} }_{i+1}=A_{i}\mathbf {x} _{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} _{i}$

$\mathbf {y} _{i}=C_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {w} _{i}$

Here $\mathbf {} i$ represents the discrete time index and $\mathbf {v} _{i},\mathbf {w} _{i}$ represent discrete-time Gaussian white noise processes with covariance matrices $\mathbf {} V_{i},W_{i}$ respectively.

The quadratic cost function to be minimized:

$J=E\left({\mathbf {x} }_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }_{N}+\sum _{i=0}^{N-1}\mathbf {x} _{i}^{\mathrm {T} }Q_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {u} _{i}^{\mathrm {T} }R_{i}\mathbf {u} _{i}\right),$

$F\geq 0,Q_{i}\geq 0,R_{i}>0.\,$

The discrete-time LQG controller:

${\hat {\mathbf {x} }}_{i+1}=A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}{\mathbf {u} }_{i}+K_{i}\left({\mathbf {y} }_{i}-C_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{0}=E({\mathbf {x} }_{0})$,

$\mathbf {u} _{i}=-L_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}.\,$

The Kalman gain equals,

${\mathbf {} }K_{i}=P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i})^{-1},$

where ${\mathbf {} }P_{i}$ is determined by the following matrix Riccati difference equation that runs forward in time,

$P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }\left(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A_{i}^{\mathrm {T} }+V_{i},P_{0}=E\left({\mathbf {x} }_{0}{\mathbf {x} }_{0}^{\mathrm {T} }\right).$

The feedback gain matrix equals,

${\mathbf {} }L_{i}=(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}A_{i}.$

where ${\mathbf {} }S_{i}$ is determined by the following matrix Riccati difference equation that runs backward in time,

$S_{i}=A_{i}^{\mathrm {T} }\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i},S_{N}=F.$

If all the matrices in the problem formulation are time-invariant and if the horizon ${\mathbf {} }N$ tends to infinity the discrete-time LQG controller becomes time-invariant. In that case the matrix Riccati difference equations may be replaced by their associated discrete-time algebraic Riccati equations. These determine the time-invarant linear-quadratic estimator and the time-invariant linear-quadratic regulator in discrete-time. To keep the costs finite instead of ${\mathbf {} }J$ one has to consider ${\mathbf {} }J/N$ in this case.

See also

• Stochastic control
• Witsenhausen's counterexample

References

|

ไวแยร์สตราสส์ Weierstrass เป็นหลุมอุกกาบาตบนดวงจันทร์ that is attached to the northern rim of the walled plain Gilbert, in the eastern part of the Moon. It also lies very near the crater Van Vleck, a similar formation just to the southeast that is almost attached to the outer rim. Due to its location, the crater appears foreshortened as seen from the Earth.

The crater has an oval-shaped outer rim that is longer along an east–west axis. There are some slumped shelves along the inner walls to the north and south. The interior floor is nearly featureless, with only a few tiny impacts. Neither the rim nor the interior are marked by impact craters of significance.

Prior to being named by the IAU, this crater was designated Gilbert N.

External links

• LTO-81A2 Gilbert — L&PI topographic map

แม่แบบ:Moon-crater-stub

สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

เรียกว่า สมการแบร์นูลลี อังกฤษ: (Bernoulli equation) เมื่อ ไม่สามารถแยกวิเคราะห์ได้ (รูปแบบผิดพลาด): {\displaystyle n≠1, 0,} ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ.1695 (Bernoulli 1695) สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations)มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการแบร์นูลลี

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

โดยชัดเจน $y=0$ เป็นหนึ่งในผลลัพท์ เมื่อหารด้วย $y^{2}$ จะได้

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่

$w={\frac {1}{y}}$

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.$

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}$

ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

คูณด้วย $M(x)$,

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$

โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ $wx^{2}$ ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

ผลลัทพ์ $y$ คือ

$y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}$

และ $y=0$.

เราสมารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรม MATLAB โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้โค๊ดดังข้างล่างนี้

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')

gives both solutions:

0
x^2/(x^5/5 + C1)

ดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย WolframAlpha โดยที่ผลตอบ $y=0$ จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว

อ้างอิง

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.

ดูเพิ่ม

• Bernoulli equation on PlanetMath
• Differential equation on PlanetMath
• Index of differential equations on PlanetMath

ทฤษฎีระบบควบคุม

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง discrete Lyapunov equation คือสมการในรูปแบบ

$AXA^{H}-X+Q=0$

โดยที $Q$ คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ $A^{H}$ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ $A$

ในขณะที่ สมการเลียปูนอฟต่อเนื่อง (continuous Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

$AX+XA^{H}+Q=0$.

สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุมเช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)

การประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ

ในที่นี้เรากำหนดให้ $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ และ $P$ และ $Q$ เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ math>P>0</math> หมายถือว่า $P$ คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง ถ้ามี $P>0$ และ $Q>0$ ที่สามารถทำให้ $A^{T}P+PA+Q=0$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) ${\dot {x}}=Ax$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง $V(z)=z^{T}Pz$นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ถ้ามี $P>0$ และ $Q>0$ ที่สามารถทำให้ $A^{T}PA-P+Q=0$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น $x(t+1)=Ax(t)$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ $z^{T}Pz$ นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แง่มุมในการคำนวณ

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ การเติมเต็มของชัวร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้

${\begin{bmatrix}X^{-1}&A\\A^{H}&X-Q\end{bmatrix}}=0$

or equivalently as

${\begin{bmatrix}X&XA\\A^{H}X&X-Q\end{bmatrix}}=0$.

นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชัวร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa) มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ สามารถใช้ได้เช่นกัน

ผลตอบเชิงวิเคราะห์

เราสามรถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนยิยามให้ ${\text{vec}}(A)$ เป็นโอเปอร์เรเตอร์ที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์$A$ และนิยาม ${\text{kron}}(A,B)$เป็น ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) ระหว่าง $A$ และ $B$ และโดยการใช้ผลจาก ${\text{vec}}(ABC)={\text{kron}}(C^{T},A){\text{vec}}(B)$, เราสามารถใช้ $(I-{\text{kron}}(A,A)){\text{vec}}(X)={\text{vec}}(Q)$ เมื่อ $I$ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformable จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ ${\text{vec}}(X)$ โดยการหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า $X$ ต้องมีการปรับขนาดของ ${\text{vec}}(X)$ อย่างเหมาะสมด้วย

ดูเพิ่ม

• Sylvester equation
• Algebraic Riccati equation

แหล่งข้อมูลอื่น

• Online solver for arbitrary sized matrices.

ใน คณิตศาสตร์ พหุนามฟีโบนักชี (Fibonacci polynomial) คือ ลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของ ฟีโบนักชีจำนวน (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากด้วยรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่า พหุนามลูคัส (Lucas polynomial)

นิยาม

พหุนามฟีโบนักชีนิยามโดย ความสัมพันธ์เวียนเกิด) (recurrence relation):

$F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}$

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรกๆของพหุนามฟีโบนักชีคือ:

$F_{0}(x)=0\,$

$F_{1}(x)=1\,$

$F_{2}(x)=x\,$

$F_{3}(x)=x^{2}+1\,$

$F_{4}(x)=x^{3}+2x\,$

$F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,$

$F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,$

พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนักชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไป : $L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}$

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรกๆของพหุนามลูคัสคือ:

$L_{0}(x)=2\,$

$L_{1}(x)=x\,$

$L_{2}(x)=x^{2}+2\,$

$L_{3}(x)=x^{3}+3x\,$

$L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,$

$L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,$

$L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,$

เราสามารถได้จำนานฟีโบนักชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้ ไม่สามารถแยกวิเคราะห์ได้ (รูปแบบผิดพลาด): {\displaystyle x''&nbsp;=&nbsp;1 } จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์ $F_{n}$ ที่ ไม่สามารถแยกวิเคราะห์ได้ (รูปแบบผิดพลาด): {\displaystyle x''&nbsp;=&nbsp;2 } โดยที่ ดีกรีของ $F_{n}$ คือ $n-1$ และดีกรีของ $L_{n}$ คือ $n$ The ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สัมหรับลำดับคือ :

$\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.$

$\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.$

พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

$F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,$

$L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,$

เอกลัญลักษณ์

บทความหลัก: ลำดับลูคัส

เนื่องจากพหุนามฟีโบนักชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนักชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามแก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ $-n$ โดยนิยามว่า First, they can be defined for negative indices by

$F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).$

และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,$

$L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,$

$F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,$

โดยที่ รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ $F_{n}(x)$ จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :

$F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},$

เมื่อ

$\alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}$

เป็นผลตอบ $t$ ที่ได้จากสมการ

$t^{2}-xt-1=0.\,$

มุมมองคณิตศาสตร์เชิงการจัด

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนักชีสามารถหากได้จากสามเหลี่ยมปาสกาล ตามเส้นทแยงสีแดงดังรูป และผลบวกของค่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวคือจำนวนฟีโบนักชีนั้นเอง

ถ้าให้ F(n,k) คือค่าสัมประสิทธิ์ x^k ใน F_n(x) เราจะเขียน $F_{n}(x)$ ใหม่ได้ว่า

$F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,$

นั้นก็คือว่า F(n,k) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด n−1 X 1 จะะถูกเติมเต็มได้โดยโดมิโนขนาด 2 X 1 และสีเหลี่ยมขนาด 1 X 1 ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับ การที่มองว่า F(n,k) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน n−1 การประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับ การประกอบการบวกระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ k ครั้งเท่านั้น ตัวอย่างเช่น กรณี F(6,3)=4 เราจะเห็นได้ว่า 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F(6,3)=4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกมีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และ 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว คือ 4) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า F(n,k) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้

$F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}$

เมื่อ n และ k คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนักชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ

อ้างอิง

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). "§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial". Proofs that Really Count. MAA. p. 141. ISBN 0-88385-333-7.
• Philippou, Andreas N. (2001), "Fibonacci polynomials", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Philippou, Andreas N. (2001), "Lucas polynomials", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Lucas Polynomial" จากแมทเวิลด์.

Further reading

• Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly. 11: 271–274. ISSN 0015-0517. MR 0332645.
• Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). "Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly. 12: 113. MR 0352034.
• Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137–146. MR 1395332.
• Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Some identities involving the Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly. 40 (4): 314. MR 1920571.
• Cigler, Johann (2003). "q-Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR 1962279.

External links

• แม่แบบ:SloanesRef
• แม่แบบ:SloanesRef