เวกเตอร์พอยน์ติง

เวกเตอร์พอยน์ติง (Poynting vector) เป็น ปริมาณทางกายภาพ ที่แสดงความหนาแน่นของการไหลของพลังงานของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า มีขนาดเป็นพลังงานที่ผ่านหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา หน่วยเอสไอที่ใช้คือวัตต์ต่อตารางเมตร (W/m²)

ชื่อเวกเตอร์พอยน์ติงได้รับการตั้งชื่อตามผู้ริเริ่มนำมาใช้ในปี 1884 คือ จอห์น เฮนรี พอยน์ติง (John Henry Poynting) ในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เวกเตอร์พอยน์ติงจะชี้ไปในทิศทางของการแผ่ บางครั้งคนจึงเข้าใจความหมายของชื่อผิดว่ามาจากคำว่า pointing ที่แปลว่า "การชี้" อย่างไรก็ตาม ในตัวกลางแบบแอนไอโซทรอปิก เวกเตอร์พอยน์ติงจะชี้ไปในทางที่ต่างจากการแผ่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

เวกเตอร์พอยน์ติง S นิยามโดย

${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {H}}$

โดยในที่นี้ E คือ ความแรงสนามไฟฟ้า และ H คือ ความแรงสนามแม่เหล็ก

สำหรับในสุญญากาศ จะได้ว่า

${\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}$

โดยที่ B คือ ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก และ $\mu _{0}$ คือ สภาพให้ซึมผ่านได้ของสุญญากาศ (ค่าคงที่แม่เหล็ก)

สำหรับภายในตัวกลาง สภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็กของตัวกลางคือ $\mu =\mu _{s}\mu _{0}$ โดยต้องคูณด้วยความสามารถในการซึมผ่านสัมพัทธ์ $\mu _{s}$ และเวกเตอร์พอยน์ติงจะกลายเป็น

${\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\mu }}{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}$

กฎการอนุรักษ์

ไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์พอยน์ติงคือ

${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {S}}&=\nabla \cdot ({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {H}})\\&={\boldsymbol {H}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {E}})-{\boldsymbol {E}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {H}})\\&=-{\boldsymbol {H}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {E}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {j}}\\\end{aligned}}$

โดยที่ความหนาแน่นของพลังงานของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าคือ

$u={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {D}}+{\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {B}})$

ดังนั้นได้สมการของความต่อเนื่องเป็น

$\nabla \cdot {\boldsymbol {S}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {j}}$

สมการนี้แสดงกฎทรงพลังงานในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ด้านขวามือแสดงถึงพลังงานที่สูญเสียไปเมื่อสนามแม่เหล็กไฟฟ้าทำงานกับประจุไฟฟ้าเนื่องจากแรงโลเรินตส์ โดยตีความได้ว่าเป็นกำลังไฟฟ้าต่อหน่วยปริมาตร

ความแรงของเวกเตอร์พอยน์ติงจะผันเปลี่ยนไปตามเวลาเนื่องจากสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่แกว่งไปมา ค่าเฉลี่ยตลอดเวลาของความเข้มของเวกเตอร์พอยน์ติงนั้นจะเรียกว่าความหนาแน่นฟลักซ์การแผ่รังสี คำนวณได้โดย

${\boldsymbol {I}}=\left\langle {\boldsymbol {S}}\right\rangle _{T}={\frac {1}{2T}}\int _{0}^{T}{\boldsymbol {S}}\,dt$

นอกจากนี้แล้ว ปริพันธ์ต่อพื้นที่ของเวกเตอร์พอยน์ติงคือ

$\int _{V}{\boldsymbol {S}}\,dV$

อาจตีความได้ว่าเป็นโมเมนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า