อนุกรมกรันดี

อนุกรมกรันดี เป็นอนุกรมอนันต์ 1 − 1 + 1 − 1 + … หรือเขียนได้ในรูป

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

อนุกรมนี้ตั้งชื่อตามชื่อของ กวีโด กรันดี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก จึงไม่สามารถหาผลบวกได้ อย่างไรก็ตาม มีผู้สร้างข้อความขัดแย้งโดยพิสูจน์ว่าผลบวกของอนุกรมนี้เป็นจำนวนต่างๆได้ เช่น

• 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0
• 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1
• ให้ S = 1 − 1 + 1 − 1 + … ดังนั้น 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S, 2S = 1, S = 1/2

อนุกรมเรขาคณิต

สำหรับจำนวนจริงใดๆ ในช่วง (-1,1) สามารถหาผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตได้

$\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.$