หลักรังนกพิราบ

ในสาขาคณิตศาสตร์ หลักรังนกพิราบ (อังกฤษ: pigeonhole principle) กล่าวว่าหากมีนกพิราบอยู่ ${\textstyle n}$ ตัว แล้วต้องการนำนกพิราบเหล่านี้ไปใส่ในรังนกพิราบ ${\textstyle m}$ รัง โดยที่ ${\textstyle n>m}$ แล้ว จะได้ว่าจะมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกพิราบอยู่มากกว่าหนึ่งตัว ทฤษฏีนี้ปูทางให้เราสามารถกล่าวได้ว่า "จะต้องมีถุงมือข้างซ้ายอย่างน้อย 2 ข้าง ไม่ก็ถุงมือขวาข้างอย่างน้อย 2 ข้าง ทุก ๆ ถุงมือ 3 ข้าง" หรือแม้แต่คำพูดที่ดูแล้วน่าทึ่งเช่น "รับประกันได้เลย ในกรุงเทพมหานครมีอย่างน้อยสองคนที่มีจำนวนเส้นผมบนหัวเท่ากัน" ก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นจริงได้ด้วยหลักรังนกพิราบได้เช่นกัน (ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง)

จะเห็นว่าในรูปมีนกพิราบอยู่ 10 ตัว และมีรังอยู่เพียงแค่ 9 รัง ดังนั้นจึงมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกอยู่สองตัว

ตัวอย่าง

หยิบถุงเท้า

สมมติว่าในกล่องใบหนึ่งมีถุงเท้าสีขาวอยู่ 12 ข้าง และสีดำอยู่ 10 ข้าง จงหาจำนวนครั้งในการหยิบน้อยที่สุดที่รับประกันได้เลยว่าจะได้ถุงเท้าสีเดียวกันหนึ่งคู่ เราจะกล่าวได้ว่ารังนกพิราบก็คือ รังของนกสีขาวและรังของนกสีดำนั่นคือมีสองรังเท่านั้น (m = 2) ต้องหาจำนวนนกพิราบที่จะรับประกันได้ว่าจะมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกสองตัว จากหลักรังนกพิราบจะได้ว่าต้องหา n > m ที่น้อยที่สุดนั่นก็คือ n = 3 จะเห็นว่าถ้าเราหยิบถุงเท้ามาแล้วสองข้าง (n=2) อย่างแย่ที่สุดเราจะก็มีถุงเท้าสีขาวและสีดำอย่างละข้างเมื่อหยิบอีกหนึ่งข้างก็ต้องได้ครบคู่

นับเส้นผม

เราสามารถกล่าวได้ว่ามีคนอย่างน้อยสองคนในกรุงเทพมหานครที่มีจำนวนเส้นผมบนหัวเท่ากันพอดี เนื่องจากโดยปกติแล้วเส้นผมของมนุษย์จะมีประมาณ​ 150,000 เส้น ดังนั้นการสมมติว่าไม่มีใครที่มีเส้นผมเกินล้านเส้นก็สมเหตุสมผล (m = 1,000,000) ประกอบกับมีคนมากกว่าล้านคนในกรุงเทพมหานคร (n > 1,000,000 = m) สามารถเปรียบเทียบได้กับมีนกพิราบมากกว่าหนึ่งล้านตัว แต่มีรังนกพิราบเพียงหนึ่งล้านรัง จากหลักของรังนกพิราบเพราะ n > m จะได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกพิราบอาศัยอยู่อย่างน้อยสองตัว นั่นคือมีอย่างน้อยสองคนในกรุงเทพมหานครที่มีจำนวนเส้นผมบนหัวเท่ากัน แต่หากประชาการในกรุงเทพมหานครไม่ถึงหนึ่งล้านคนก็มิได้หมายความว่าจะไม่มีใครที่มีเส้นผมเท่ากันเลย อาจจะมีอยู่ก็ได้ แต่หลักรังนกพิราบไม่ได้รับประกัน

ปัญหาวันเกิด

ปัญหาวันเกิดถามว่าในกลุ่มคนกลุ่มหนึ่งจะมีโอกาสเท่าไหร่ที่จะมีคนที่มีวันเกิดซ้ำกัน แต่สำหรับหลักรังนกพิราบนั้นหากมี 367 คน ก็จะรับประกันได้ว่ามีคนที่มีวันเกิดซ้ำกันแน่นอน เพราะว่าจำนวนคน (n = 367) จะมากกว่ารูปแบบของวันที่เป็นไปได้ในหนึ่งปี (m = 366 รวมวันที่ 29 กุมภาพันธ์)

ทีมฟุตบอล

สมมุติมีคน 11 คนที่ต้องการเล่นฟุตบอล โดยมีทีมให้เลือกลงเล่น 6 ทีม โดยหลักรังนกพิราบเราสามารถแสดงได้ว่า 11 คนนี้ไม่สามารถเล่นทีมแตกต่างกันได้ทุกคน และต้องมีอย่างน้อยทีมหนึ่งที่มี 2 คนจาก 6 คนนี้ในทีมนั้น ซึ่งแสดงได้จาก

$\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\frac {11-1}{6}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\frac {10}{6}}\right\rfloor +1=1+1=2$

รูปทั่วไป

ให้ q₁, q₂, ..., q_n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้านำนกพิราบจำนวน q₁ + q₂ + ... + q_n - n + 1 ตัวใส่ใน n รัง แล้ว รังที่หนึ่งมีนกอย่างน้อย q₁ ตัว หรือ รังที่สองมีนกอย่างน้อย q₂ ตัว หรือ ... หรือ รังที่ n มีนกอย่่างน้อย q_n ตัว

• กรณี q_{1 =} q_{2 =} ... = q_n = 2 จะได้นก n + 1 ตัว ตรงกับหลักรังนกพิราบธรรมดา

• กรณี q_{1 =} q_{2 =} ... = q_n = r จะได้เป็นหลักว่า "เมื่อนำนก n(r - 1) + 1 ตัวไปใส่ในรัง n รัง แล้วอย่างน้อย 1 รังจะมีนกอย่างน้อย r ตัว" หรือสามารถเขียนได้อีกแบบว่า "หากนำนก k ตัวใส่ในรัง n รัง อย่างน้อย 1 รังจะมีนกอย่างน้อย $\lceil {k/n}\rceil$ตัว ($\lceil x\rceil$เป็นฟังก์ชันเพดาน)"

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Dirichlet box principle", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• "The strange case of The Pigeon-hole Principle"; Edsger Dijkstra investigates interpretations and reformulations of the principle.
• "The Pigeon Hole Principle"; Elementary examples of the principle in use by Larry Cusick.
• "Pigeonhole Principle from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles"; basic Pigeonhole Principle analysis and examples by Alexander Bogomolny.
• "The Puzzlers' Pigeonhole เก็บถาวร 2002-06-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน"; Alexander Bogomolny on the importance of the principle in the field of puzzle solving and analysis.
• "16 fun applications of the pigeonhole principle"; Interesting facts derived by the principle.