ระบบมีพลวัตแบบเวลายง

ระบบมีพลวัตแบบเวลายง หรือ ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (อังกฤษ: Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า $x(t)$ ที่เวลา $t$ จะได้สัญญาณขาออกเป็น $y(t)$ ที่เวลา $t$ ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา $t+\delta$ นั้นคือ $x(t+\delta )$ สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ $y(t+\delta )$เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา $t+\delta$ ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า $x(t+\delta )$

ตัวอย่างที่หนึ่ง

ตัวอย่างนี้เป็นการพิจารณาอย่างง่าย โดยเมื่อพิจารณา สมการสถานะ :

• ระบบ A: $y(t)=t\,x(t)$
• ระบบ B: $\,\!b(t)=10x(t)$

จะเห็นได้ว่า ระบบ A นั้นมีพารามิเตอร์ของระบบ (สัมประสิทธิ์หน้า $x(t)$ ) ขึ้นกับเวลา t อย่างชัดแจ้ง นั้นหมายความว่าระบบมีคุณสมบัติเปลี่ยนแปรตามเวลาได้ ส่วนระบบ B นั้น พารามิเตอร์ของระบบไม่ขึ้นกับ เวลา t ดังนั้นระบบเป็นระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ตัวอย่างที่ 2

ในตัวอยางนี้เราจะใช้นิยามที่ 2 ในการตรวจสอบคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาของระบบ

ระบบ A:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า (delay) $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา $t+\delta$

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

จะเห็นได้ว่า $y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)$, ดังนั้นระบบมีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ระบบ B:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา $\,\!\delta$

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )$

จะเห็นได้ว่า $y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)$, ดังนั้นระบบไม่มีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ตัวอย่างที่ 3

เราจะใช้ ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) โดยเขียนในสัญลักษณ์ $\mathbb {T} _{r}$ โดยที่ $r$ คือจำนวนที่เราต้องการทำการเลื่อนเชิงเวลา ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการล้ำหน้าเชิงเวลาไป 1 (advance-by-1)

$x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)$

เวลาเขียนในรูปแบบที่ใช้ตัวดำเนินการเลื่อนได้ดังนี้

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}$

โดยที่ ${\tilde {x}}$ คือฟังก์ชันนิยามโดย

${\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

ซึ่งหลังจากดำเนินการเลื่อนแล้วจะได้ว่า

${\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

โดยจะเห็นได้ว่า $\mathbb {T} _{1}$ คือตัวดำเนินการที่ทำให้สัญญาณขาเข้าของเวกเตอร์เลื่อนไปข้างหน้า 1 ขั้นของหน่วยเวลา

หากเราเขียนระบบในในรูปของตัวดำเนินการของตัวระบบ (ในที่นี้คือพารามิเตอร์ A, B, C, D ในรูปแบบสมการปริภูมิสถานะนั้นเอง) $\mathbb {H}$ ที่ว่านี้ จะเห็นได้ว่าระบบจะมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลา ถ้าสมการของตัวระบบมีสมบัติการสลับที่กับตัวดำเนินการเลื่อน ดังนี้

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r$

นั้นคือถ้าระบบของเราสามารถเขียนได้ในรูปสมการนี้

${\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}$

จะเห็นได้ว่าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลาถ้าเราสามารถดำเนินการระหว่าง $\mathbb {H}$ ต่อ ${\tilde {x}}$ แล้วตามด้วยนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ $\mathbb {T} _{r}$ ที่หลัง หรือ เราสามารถดำเนินการ $\mathbb {T} _{r}$ กับ $\mathbb {H}$ ได้เลย แล้วนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ ${\tilde {x}}$ โดยผลลัทพ์ที่ได้สุดท้าย นั้นจะไม่แต่ต่างกันเลย

โดยการดำเนินการของระบบ $\mathbb {H}$ ก่อนกับ ${\tilde {x}}$ จะได้

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}$

โดยการดำเนินการเลื่อน $\mathbb {T} _{r}$ ต่อ ${\tilde {x}}$ ก่อนจะได้

$\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}$

และถ้าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปรงเชิงเวลาแล้วจะได้ว่า

$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}$

ดูเพิ่ม

• Finite impulse response
• LTI system theory
• Sheffer sequence
• State space
• System analysis
• Time-variant system
• Shift invariant system