ทฤษฎีบทของกรีน

ทฤษฎีบทของกรีน (อังกฤษ: Green's theorem) เป็นทฤษฎีบทในแคลคูลัสเวกเตอร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลตามเส้นรอบเส้นโค้งปิดอย่างง่าย $C$ กับอินทิกรัลสองชั้นเหนือบริเวณ $D$ ในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง $C$ นั้น ทฤษฎีบทของกรีนเป็นกรณีพิเศษใน 2 มิติของทฤษฎีบทของสโตกส์

ทฤษฎีบท แก้

ให้ $C$ เป็นเส้นโค้งปิดใด ๆ ที่มีทิศทางบวก (positively oriented) เป็นเส้นโค้งปรับเรียบเป็นช่วง ๆ (piecewise smooth) และเป็นเส้นโค้งอย่างง่าย (simple) ในระนาบ $\mathbb {R} ^{2}$ และให้ $D$ เป็นบริเวณในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด $C$ นี้ ถ้า $L$ และ $M$ เป็นฟังก์ชันของ $(x,y)$ ซึ่งหาค่าได้บนบริเวณเปิดอันหนึ่งที่บรรจุบริเวณ $D$ และอนุพันธ์ย่อยของทั้งสองฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องแล้ว

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$

โดยการอินทิเกรตตามเส้นโค้ง $C$ เป็นการอินทิเกรตในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา^[1]

ในทางฟิสิกส์ ทฤษฎีบทของกรีนจะใช้ในการแก้ปัญหาอินทิกรัลของของไหลในสองมิติ ในเรขาคณิตและการทำรังวัดสามารถใช้ทฤษฎีบทของกรีนหาพื้นที่ของรูปร่างด้วยการอินทิเกรตไปตามเส้นขอบของรูปร่างนั้น

ประวัติ แก้

ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตามจอร์จ กรีน ซึ่งกล่าวถึงผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีบทในบทความนี้ในปี ค.ศ. 1828 ในบทความ An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (ความเรียงว่าด้วยบทประยุกต์การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์กับทฤษฎีของไฟฟ้าและแม่เหล็ก) ในปี ค.ศ. 1846 โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี ตีพิมพ์บทความที่มีทฤษฎีบทของกรีนปรากฏเป็นประโยครองสุดท้าย^[2] ซึ่งเป็นครั้งแรกที่ทฤษฎีบทของกรีนในรูปแบบที่พบได้ทั่วไปถูกตีพิมพ์ครั้งแรก รีมันน์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีนในปริญญานิพนธ์ว่าด้วยทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงซ้อนตัวแปรเดียวของเขา^[3]

อ้างอิง แก้

↑ Lipschutz, Seymour (2009). Vector analysis and an introduction to tensor analysis. Murray R. Spiegel, Dennis Spellman (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. OCLC 244060713.
↑ A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (ว่าด้วยอินทิกรัลที่นิยามไปบนทุกจุดของเส้นโค้งปิด), Comptes rendus, 23: 251–255.
↑ Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics : an introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley. pp. 801–5. ISBN 0-321-38700-7. OCLC 71006826.

[1] Lipschutz, Seymour (2009). Vector analysis and an introduction to tensor analysis. Murray R. Spiegel, Dennis Spellman (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. OCLC 244060713.

[2] A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (ว่าด้วยอินทิกรัลที่นิยามไปบนทุกจุดของเส้นโค้งปิด), Comptes rendus, 23: 251–255.

[3] Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics : an introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley. pp. 801–5. ISBN 0-321-38700-7. OCLC 71006826.

[1]

[2]

[3]