ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว

สำหรับสถิติศาสตร์แล้ว ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (อังกฤษ: covariance) เป็นการวัดปริมาณการเปลี่ยนแปลงของสองตัวแปรว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงตามกันมาน้อยเท่าใด ความแปรปรวน (variance) เป็นกรณีพิเศษของความแปรปรวนร่วมเกี่ยวโดยที่สองตัวแปรที่พิจารณาคือตัวแปรตัวแปรเดียวกัน

นิยาม

ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างสองตัวแปรสุ่ม X และ Y ที่มีค่าsecond momentจำกัด คือ

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]},$

โดย E[X] คือ ค่าคาดหมาย (expected value) ของ X

นิยามข้างต้นสามารถทำให้สั้นลงได้เป็น: $\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}XY{\big ]}-\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].$

สำหรับเวกเตอร์สุ่ม X และ Y ที่มีขนาดไม่เท่ากัน โดย X มีขนาด m×1 และ Y มีขนาด n×1 แล้ว เมตริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวของ X และ Y จะเป็นเมตริกซ์ขนาด m×n ที่เท่ากับ: $\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])'{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}XY'{\big ]}-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]',$ โดย M ′ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของM

สมาชิกแถว i หลัก j ของ Cov(X,Y) จะเท่ากับค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยว Cov(X_i, Y_j) ระหว่างสมาชิกที่ i ของ X และสมาชิกที่ j ของ Y

Cov(Y, X) จะเท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ Cov(X, Y).

ตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างกันเป็น 0 จะเรียกว่า ตัวแปรทั้งสองไม่มีสหสัมพันธ์กัน (uncorrelated)

หน่วยของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว Cov(X, Y) จะคือ หน่วยของ X คูณหน่วยของ Y แต่สำหรับสหสัมพันธ์ (correlation) สหสัมพันธ์ไม่มีหน่วย

ดูเพิ่ม

• ความแปรปรวน (variance)
• Covariance matrix
• สหสัมพันธ์ (correlation)

แหล่งข้อมูลอื่น

• MathWorld page on calculating the sample covariance