ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ ${\mathsf {J}}$ (อังกฤษ: four-current) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป คือเวอร์ชันซึ่งเป็นลอเรนซ์โคแวเรียนต์ (Lorentz covariant) ของเวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density) $\mathbf {j}$

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิตินิยามเหมือนกันในทุกระบบ โดย

${\mathsf {J}}:=\left(J^{\mu }\right)=\left(\rho c,\mathbf {j} \right)$

โดยที่

$\left.c\right.$ คืออัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light in vacuum)

$\left.\rho \right.$ คือความหนาแน่นประจุ (charge density)

$\mathbf {j}$ คือความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density)

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ คำกล่าวของกฎอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า (electric charge conservation law) (เมื่อเขียนในรูปสมการจะเรียกว่าสมการความต่อเนื่อง (continuity equation)) คือว่า

"ไดเวอร์เจนซ์แบบโลเร็นตซ์อินวาเรียนท์ (Lorentz invariant divergence) ของ เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ ${\mathsf {J}}$ เป็นศูนย์"

${\boldsymbol {\partial }}\cdot {\mathsf {J}}=\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} =0$

เมื่อ ${\boldsymbol {\partial }}$ เป็นตัวดำเนินการ (operator) ถูกเรียกว่าเกรเดียนท์สี่มิติ (four-gradient) และกำหนดโดย $\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\boldsymbol {\nabla }}\right)$ บางครั้งสมการความต่อเนื่องข้างบนถูกเขียนในรูป

$\left.J^{\mu }{}_{,\mu }=0\right.$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สมการความต่อเนื่องดังกล่าวจะถูกเขียนในรูป

$\left.J^{\mu }{}_{;\mu }=0\right.$

โดย semi-colon $\left.;\right.$ แทนอนุพันธ์โควาเรียนท์ (covariant derivative)

ดูเพิ่ม

• เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector)