กฎลูกโซ่

ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (อังกฤษ: Chain rule) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต

เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x

สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่

ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้ $f\circ g=f(g(x))$ ดังนั้น

${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}$

เมื่อ ${\frac {df}{dg}}$ ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.

ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

The general power rule

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้

Example I

พิจารณา $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$. $f(x)$ เทียบได้กับ $h(g(x))$ โดยที่ $g(x)=x^{2}+1$ และ $h(x)=x^{3}$ ดังนั้น

${\frac {d}{d}}{\frac {x}{y}}$ $=f'(x).g'(x)$

$f'(x)$	$=3(x^{2}+1)^{2}(2x)$
	$=6x(x^{2}+1)^{2}$

Example II

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

$f(x)=\sin(x^{2}),$

เราสามารถเขียน $f(x)=h(g(x))$ ด้วย $h(x)=\sin x$ และ $g(x)=x^{2}$ จากกฎลูกโซ่ จะได้

$f'(x)=2x\cos(x^{2})$

เนื่องจาก $h'(g(x))=\cos(x^{2})$ และ $g'(x)=2x$

กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร

กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน $f(u(x,y),v(x,y))$ โดยที่

$u(x,y)=3x+y^{2}$ และ $v(x,y)=\sin(xy)$

ดังนั้น

${\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3+\cos(xy)y$

บทพิสูจน์กฎลูกโซ่

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

$g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,$ ซึ่ง ${\frac {\epsilon (\delta )}{\delta }}\to 0\,$ ขณะที่ $\delta \to 0.$

ในทำนองเดียวกัน

$f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\,$ ซึ่ง ${\frac {\eta (\alpha )}{\alpha }}\to 0\,$ ขณะที่ $\alpha \to 0.\,$

จะได้

$f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,$	$=f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta ))-f(g(x))\,$
	$=\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\,$

ซึ่ง $\alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,$ จะเห็นว่าขณะที่ $\delta \to 0$ นั้น ${\frac {\alpha _{\delta }}{\delta }}\to g'(x)$ และ ${\frac {\eta (\alpha _{\delta })}{\delta }}\to 0$ ดังนั้น

${\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x))$ ขณะที่ $\delta \to 0$

กฎลูกโซ่พื้นฐาน

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : E → F และ g : F → G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้

${\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\mbox{D}}_{x}\left(f\right).$

สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์

การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ C^k (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้

f : M → N และ g : N → P

เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย

${\mbox{d}}\left(g\circ f\right)={\mbox{d}}g\circ {\mbox{d}}f.$

ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C^∞ โดยมีการแปลง C^∞ เป็นสัณฐาน

เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่

ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์