ผลต่างระหว่างรุ่นของ "กลศาสตร์ลากร็องฌ์"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Setawut (คุย | ส่วนร่วม)
Setawut (คุย | ส่วนร่วม)
แทนที่ "แบบลากรองจ์" → "ลากร็องฌ์" +แทนที่ "ลากรานจ์" → "ลากร็องฌ์" +แทนที่ "ลากรางจ์" → "ลากร็องฌ์" ด้วยสจห.
บรรทัด 1:
{{กลศาสตร์ดั้งเดิม}}
'''กลศาสตร์แบบลากรองจ์ลากร็องฌ์''' ({{lang-en|Lagrangian Machanics}}) เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของ[[กลศาสตร์ดั้งเดิม]] ({{lang-en|Classical Machanics}})เช่นเดียวกับกฎของนิวตัน ซึ่งกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยมีหัวใจสำคัญ คือ การหาแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ และโดยทั่วไปปัญหาทางกลศาสตร์มีความซับซ้อนค้อนข้างมาก เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวทรงกลม เมื่อการคำนวณหาแรงลัพธ์มีความยากลำบาก กลศาสตร์ของนิวตันจึงไม่เหมาะสมที่จะนำมาศึกษากลศาสตร์ที่มีความซับซ้อนได้ แนวคิดด้านกลศาสตร์แบบใหม่ที่เข้ามาอธิบายกลศาสตร์ที่มีความซับซ้อน คือ กลศาสตร์ลากรองจ์ ถูกเสนอในปี 1788 โดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - อิตาลี [[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์|โฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์]] การคำนวณแบบกลศาสตร์ลากรองจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่างๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหา[[เพนดูลัม]]ที่มีมวลมากกว่า 1 อัน ความง่ายของกลศาสตร์นี้ คือ ไม่ใช้แรงในการคำนวณ แต่จะใช้พิกัดทั่วไปและระบบพลังงานในการแก้ปัญหา เนื่องจากพลังงานเป็นปริมาณสเกลาร์การคำนวณจึงง่ายกว่าการแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ กลศาสตร์แบบลากรองจ์ลากร็องฌ์สามารถพัฒนารูปแบบสมการจนไปถึง[[สมการความหนาแน่นลากรานจ์ร็องฌ์|สมการความหนาแน่นลากรองจ์]] (Lagrangian density) การที่จะได้มาซึ่งกลศาสตร์ลากรองจ์มีอยู่ 3 วิธี
1) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จาก[[กฎข้อที่สองของนิวตัน]] (Newton’s second law)
2) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จาก[[หลักการดาล็องแบร์]] (D’Alembert Principle)
บรรทัด 15:
</div><p>
 
สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตาม[[สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ร็องฌ์|สมการออยเลอร์-ลากรองจ์]] ([[Euler-Lagrange Equation]]) ดังนี้<p>
<div align = "center">
<math>0 = \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial \mathcal L}{\partial q_j}</math><br />
บรรทัด 55:
:<math> \mathbf{F} = m \mathbf{a} \,, </math><br>
เมื่อ '''a''' คือความเร่ง และ '''F''' คือแรงลัพธ์ ที่กระทำกับระบบ ซึ่งอยู่ในระบบ 3 มิติ แล้วระบบนี้จะรวมกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา เนื่องจากมีสมการเวคเตอร์ทั้งสามตัวเป็นองค์ประกอบ การแก้ปัญหาคือ ตำแหน่งของเวคเตอร์ r ของอนุภาคในเวลา '''t''' การแก้ปัญหาที่มี '''R''' เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา '''t''' ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นของ '''r''' และ '''v''' เมื่อ t = 0<br>
กฎของนิวตันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำมาพิจารณาใช้ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่พิกัดคาร์ทีเซียนก็ไม่สะดวกเสมอไป และสำหรับระบบพิกัดอื่น ๆ การใช้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันจะกลายเป็นเรื่องซับซ้อน ในชุดของ พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates) '''ξ''' = (ξ1, ξ2, ξ3) '''กฎในดรรชนีเทนเซอร์ (tensor)''' คือฟอร์มแบบลากรองจ์ลากร็องฌ์<br>
<ref name="Schuam 1988">{{harvnb|Schuam|page=156|1988}}</ref><ref name="Synge 1949">{{harvnb|Synge|Schild|page=150–152|1949}}</ref>
<br>