ผลต่างระหว่างรุ่นของ "เรขาคณิต"

'''เรขาคณิต''' ({{lang-en|Geometry}}; {{lang-gr|γεωμετρία}}, ''geometria''; geo = พื้นดิน/โลก, metria = วัด) เป็นสาขาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับ[[รูปทรง]] [[รูปร่าง]] ขนาดและตำแหน่งของวัตถุใน[[ปริภูมิ]]<ref>{{Cite web|title=Geometry - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Geometry|website=encyclopediaofmath.org}}</ref> เรขาคณิตเป็นหนึ่งในสองสาขาของ[[คณิตศาสตร์]]ก่อนยุคใหม่, โดยอีกสาขานั้นคือสาขา[[ทฤษฎีจำนวน]] ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับ[[จำนวนเต็ม]]

ในช่วงก่อนคริสต์ศตวรรษที่ 19 [[เรขาคณิตแบบยุคลิด]]แทบจะเป็นเรขาคณิตแบบเดียวที่นิยมเป็นที่รู้จักและถูกศึกษากันมากที่สุดในช่วงก่อนคริสต์ศตวรรษที่<ref>{{Cite 19web|title=Euclidean geometry {{!}} Definition, Axioms, & Postulates {{!}} Britannica|url=https://www.britannica.com/science/Euclidean-geometry|website=www.britannica.com|language=en}}</ref> เรขาคณิตแบบของยุคลิดเป็นการศึกษาเรขาคณิตบนระนาบ และเรขาคณิตในปริภูมิสามมิติ โดยมี [[จุด]] [[เส้น]] [[ระนาบ]] [[ระยะทาง]] [[มุม]] [[พื้นผิว]] และ[[ความโค้ง]]เป็นพื้นฐาน ในขณะที่ความก้าวหน้าในการเขียนภาพทำให้เกิดสาขา[[เรขาคณิตโพรเจกทีฟ]] ขึ้นมา<ref name="Stillwell">{{citeCite book |last1=Stillwell Tabak|first1=John |url=https://www.worldcat.org/oclc/52819880|title=MathematicsGeometry and: Itsthe Historylanguage of space and form|date=2004|publisher=Springer InternationalFacts PublishingOn File|isbn=9780-38160-0304953-55192-6X|location=New York|oclc=52819880}}</ref>{{rp|127-130}} เรขาคณิตอีกแบบที่เป็นที่รู้จักคือ[[เรขาคณิตทรงกลม]] ซึ่งใช้ในการศึกษา[[ดาราศาสตร์]] และ[[การเดินทาง]]

ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีการค้นพบใหม่ ๆ ที่ขยายสาขาเรขาคณิตออกไปโดยกว้าง หนึ่งในนั้นคือ [[Theorema Egregium]] หรือ (ท''ทฤษฎีบทฤษฎีบทอันน่าทึ่ง'') โดย [[คาร์ล ฟรีดริช เกาส์]] ซึ่งกล่าวโดยคร่าวว่า [[ความโค้งเกาส์เซียน]] ของพื้นผิวเป็นคุณสมบัติเฉพาะของพื้นผิวที่สามารถวัดได้จากบนพื้นผิวนั้น และไม่ขึ้นอยู่กับปริภูมิแวดล้อมที่พื้นผิวนั้นอาศัยอยู่ใน<ref>{{cite book |last1=McCleary |first1=John |title=Geometry from a Differentiable Viewpoint |publisher=Cambridge University Press |isbn=9781139022248 |page=174, 176 |edition=2}}</ref> การค้นพบนี้นำไปสู่[[เรขาคณิตแบบรีมันน์]]

ถัดมาในช่วงหลังของคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีการค้นพบเรขาคณิตในรูปแบบอื่นที่นอกเหนือไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยปฏิเสธ[[สัจพจน์เส้นขนาน]]ของยุคลิด ผ่านงานของ [[นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี]] และ [[ยานอส โบลไย]] ปัจจุบันเรียกเรขาคณิตที่ไม่มีสัจพจน์เส้นขนานว่า [[เรขาคณิตแบบไม่ยุคลิด]]<ref name="Stillwell">{{cite book|last1=Stillwell|first1=John|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-030-55192-6}}</ref>{{rp|359-365}} เรขาคณิตที่ใช้ใน[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพ]]ของ[[ไอน์สไตน์|อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์]] เป็นตัวอย่างหนึ่งของเรขาคณิตแบบไม่ยุคลิดซึ่งมีชื่อเสียงที่สุด<ref>{{cite book |last1=Carmeli |first1=Moshe |title=Relativity: Modern Large-Scale Structures of the Cosmos |date=2008 |publisher=World Scientific Publishing |page=92-93}}</ref>

ในปัจจุบันเรขาคณิตได้ขยายออกไปกว้างขวางมาก และแบ่งย่อยออกไปตามเครื่องมือที่ใช้ในการศึกษาปัญหาทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น [[เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์]] [[เรขาคณิตเชิงพีชคณิต]] [[เรขาคณิตเชิงคณนา]] [[เรขาคณิตวิยุต]] และอื่น ๆ หรือแบ่งตามสมบัติที่เรขาคณิตนั้นแตกต่างไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิด เช่น [[เรขาคณิตวิยุตโพรเจคทีฟ]]ไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับระยะทางและเส้นขนาน [[เรขาคณิตสัมพรรค]]ไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับมุมและระยะทาง เป็นต้น

นอกจากนี้แล้ว เรขาคณิตยังมีบทประยุกต์ในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตโดยตรง ตัวอย่างที่เป็นที่รู้จักคือ [[ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา]] ซึ่ง [[แอนดรูว์ ไวลส์]] ได้พิสูจน์สำเร็จในปี ค.ศ. 1994 บทพิสูจน์ของไวลส์ใช้เครื่องมือทาง[[เรขาคณิตเชิงพีชคณิต]]เป็นหัวใจสำคัญ<ref>https://www.ams.org/publications/journals/notices/201703/rnoti-p209.pdf</ref>