ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา"

'''ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา''' ({{lang-en|Fermat's little theorem}}) กล่าวว่า ถ้า <math>p</math> เป็น[[จำนวนเฉพาะ]]แล้ว <math>a^p - a</math> จะเป็นพหุคูณของ <math>p</math> สำหรับทุก[[จำนวนเต็ม]] <math>a</math> หรือเขียนในรูป[[เลขคณิตมอดุลาร์]]ได้เป็น

 

สมมติให้ <math>k</math> และ <math>m</math> เป็นจำนวนเต็มในลำดับ <math> 1, 2, 3, \dotsc, p-1</math> ที่ทำให้ <math> ka \equiv ma \pmod{p} </math>

 

 

จากการพิสูจน์ข้างต้น เมื่อลดทอนลำดับ <math> a, 2a, 3a, \dotsc, (p - 1)a </math> ในมอดุโล <math>p</math> จะต้องแตกต่างกันทั้งหมด แต่เนื่องจาก <math> a, 2a, 3a, \dotsc, (p - 1)a </math> เป็นลำดับที่มีสมาชิกทั้งหมด <math>p - 1 </math> ตัวที่แตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้นเมื่อลดทอนแล้วจะต้องได้เป็นการเรียงลำดับใหม่ของ <math> 1, 2, 3, \dotsc, p-1</math> เท่านั้น

 

\displaystyle a\times 2a\times 3a\times \dotsb \times (p-1)a &\equiv 1\times 2\times 3\times \dotsb \times (p-1) \pmod {p} \\

a^{p-1}(p - 1)! &\equiv (p-1)! \pmod{p}