ผลต่างระหว่างรุ่นของ "เอกลักษณ์ของออยเลอร์"

ไม่มีคำอธิบายอย่างย่อ
(เพิ่มความงามทางคณิตศาตร์เข้าไป และ ทำให้ง่านง่ายกว่าเดิม)
ป้ายระบุ: การแก้ไขแบบเห็นภาพ เพิ่มยูอาร์แอล wikipedia.org
* ''Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics'', โดย [[:en:Robin_Wilson_(mathematician)|Robin Wilson]] (2018).<ref>{{cite book|last1=Wilson|first1=Robin|title=Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics|date=2018|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0198794936|language=English}}</ref>
 
== คำอธิบาย ==
== ที่มา ==
สมการนี้ ปรากฏอยู่ใน ''Introduction'' ของ[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] ซึ่งตีพิมพ์ใน Lausanne ใน [[พ.ศ. 2291]] (ค.ศ. 1748) เอกลักษณ์นี้เป็นกรณีหนึ่งของ[[สูตรของออยเลอร์]] (Euler's formula) ซึ่งกล่าวว่า
 
=== เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ ===
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของออยเลอร์ แสดงออกว่า <math>e^{i\pi}</math>มีค่าเท่ากับ −1. [[นิพจน์]] <math>e^{i\pi}</math>คือ รูปพิเศษหนึ่งของ <math>e ^ {z}</math> โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว <math>e ^ {z}</math> ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:
 
<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.</math>
[[ไฟล์:ExpIPi.gif|thumb|ในอนิเมชั่นนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 100. การคำนวณ {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}}มีการแสดงการดำเนินการคูณที่ซ้ำ ๆ ในแกนจำนวนซ้อน (imaginary part). จะเห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} จะมีค่าลิมิตพุ่งเข้าหา -1.]]
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, <math>(1 + i\pi/n)^n</math>จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา
 
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของ[[สูตรของออยเลอร์]] (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:
 
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
 
สำหรับ[[จำนวนจริง]] <math>x</math> ถ้าเราให้ <math>x = \pi</math> จะได้
 
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!</math>
 
จากนิยามของ
เราจะได้
 
: <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math> หรือ <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>
{{โครงคณิตศาสตร์}}
 
== อ้างอิง ==
[[หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงซ้อน]]
[[หมวดหมู่:การยกกำลัง]]
 
[[pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera]]
<references />{{โครงคณิตศาสตร์}}
466

การแก้ไข