ผลต่างระหว่างรุ่นของ "E (ค่าคงตัว)"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ลไม่มีความย่อการแก้ไข |
ลไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 7:
ค่าคงที่ <math>e</math> สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังชั่นต์ <math>f(x) = e^x</math> เรียกว่า [[ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง|ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล]] (Exponential Function) เป็นฟังก์ชั่นที่มีค่าเท่ากับ[[อนุพันธ์]] (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชั่นอื่น
ส่วน[[ลอการิทึมธรรมชาติ]] (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ [[:en:Inverse_function|ฟังก์ชั่นที่ผกผัน]]กับฟังก์ชั่นเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจาก[[ปริพันธ์|พื้นที่ใต้กราฟ]]ของฟังก์ชั่น <math>f(x)=1/x</math> ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง
e มักเเรียกกันว่า '''จำนวนของออยเลอร์''' (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, [[ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี]]) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า '''คือค่าคงตัวเนเปียร์''' ตาม[[:en:John_Napier|จอห์น เนเปียร์]] (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบ[[ลอการิทึม]] อนึ่งค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย [[:en:Jacob_Bernoulli|ยาค็อบ แบร์นูลลี]] (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น<ref>O'Connor, J J; Robertson, E F. "[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html The number ''e'']". MacTutor History of Mathematics.</ref>
บรรทัด 15:
ค่า e ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...(ลำดับ [[oeis:A001113|A001113]] ใน [[oeis:|OEIS]]).
== การประยุกต์ใช้ e ==
[[ไฟล์:Exp derivative at 0.svg|thumb|250px|กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = ''e<sup>x</sup>'' ที่จุด x = 0]]▼
=== การคิดดอกเบี้ยทบต้น ===
{{คำพูด|สมมุติว่าบัญชีธนาคารมีเงิน 1 บาทและได้รับดอกเบี้ยร้อยละ 100 ต่อปี แน่นอนว่าถ้าดอกเบี้ยมีการทบต้นทุก ๆ ปี
หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.5<sup>2</sup> = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.25<sup>4</sup> = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)<sup>12</sup> = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น <math>n</math>ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ <math>100\%/n</math>และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน <math>(1+1/n)^n</math>บาท
แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้
=== '''การแจกแจงปรกติมาตรฐาน''' ===
=== แคลคูลัส ===▼
[[การแจกแจงปรกติ]] (Normal distribution) ที่มีค่า ''μ'' = 0 และ ''σ''<sup> 2</sup> = 1 จะถูกเรียกว่า '''การแจกแจงปรกติมาตรฐาน''' (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ([[:en:Probability_density_function|Probability density function]]):<ref>รองศาสตราจารย์ ดร.ปิยะ โควินท์ทวีวัฒน์ (2015). มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม. "[http://home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdf การสื่อสารดิจิตัล ตัวแปรสุ่มและกระบวนการสุ่ม]".</ref>
<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}</math>
▲[[ไฟล์:Exp derivative at 0.svg|thumb|250px|กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = ''e<sup>x</sup>'' ที่จุด x = 0]]
หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า <math>e</math> คือการนำไปใช้ในการหา[[อนุพันธ์]]หรือ[[ปริพันธ์]]ของ[[ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง|ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล]]และ[[ลอการิทึม|ฟังก์ชันลอการิทึม]] โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>y = a^x</math> จากนิยามของอนุพันธ์
| |||