วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "แฟกทอเรียล"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
Vistics (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 14 ครั้ง
ล ย้อนกลับไปรุ่น 6088804 วันที่ 2015-07-29 07:39:36 โดย Nullzero ด้วยป็อปอัพ
บรรทัด 1:
{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
{{:{{PAGENAME}}/ตารางจำนวน}}
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''แฟกทอเรียล''' ({{lang-en|factorial}}) ของ[[จำนวนเต็มไม่เป็นลบ]] ''n'' คือ[[ผลคูณ]]ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ ''n'' เขียนแทนด้[[ว]]ยด้วย ''n''! (อ่านว่า ''n'' แฟกทอเรียล) ตัวอย่างเช่น
::<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\;</math>
 
สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของ[[ผลคูณว่าง]] <ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''[[Concrete Mathematics]]'', Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p.&nbsp;111</ref>
 
การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง[[คณิตศาสตร์เชิงการจัด]] [[พีชคณิต]] และ[[คณิตวิเคราะห์]] การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน ''n'' สิ่งสามารถทำได้ ''n''! วิธี ([[การเรียงสับเปลี่ยน]]ของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย <ref>N. L. Biggs, ''The roots of combinatorics'', Historia Math. 6 (1979) 109−136</ref> นอกจากนี้ [[คริสเตียน แครมป์]] (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ ''n''! เมื่อ [[ค.ศ. 1808]] (พ.ศ. 2351) <ref>{{Citation |title=Number Story: From Counting to Cryptography |last=Higgins |first=Peter |year=2008 |publisher=Copernicus |location=New York |isbn=978-1-84800-000-1 |page=12 |pages= }} says Krempe though.</ref>▼
การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขา
 
▲ต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง[[คณิตศาสตร์เชิงการจัด]] [[พีชคณิต]] และ[[คณิตวิเคราะห์]] การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน ''n'' สิ่งสามารถทำได้ ''n''! วิธี ([[การเรียงสับเปลี่ยน]]ของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย <ref>N. L. Biggs, ''The roots of combinatorics'', Historia Math. 6 (1979) 109−136</ref> นอกจากนี้ [[คริสเตียน แครมป์]] (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ ''n''! เมื่อ [[ค.ศ. 1808]] (พ.ศ. 2351) <ref>{{Citation |title=Number Story: From Counting to Cryptography |last=Higgins |first=Peter |year=2008 |publisher=Copernicus |location=New York |isbn=978-1-84800-000-1 |page=12 |pages= }} says Krempe though.</ref>
 
นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบน[[#การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม|อาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม]]ได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์
 
== นิยาม ==
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัย ไว้ดังนี้▼
 
::<math> n!=\prod_{k=101}^n k! \!</math>▼
▲ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัย ไว้ดังนี้
หรือนิยามแบบ[[เวียนเกิด]] ได้ดังนี้▼
▲::<math> n!=prod_{k=10}^n k! </math>
::<math> n! = n \cdot (n-1)! </math>begin{cases}▼
 
1 & \text{if } n = 0 \\
▲หรือนิยามแบบ[[เวียนเกิด]] ได้ดังนี้
(n-1)!\times n & \text{if } n > 0
▲::<math> n! = n \cdot (n-1)! </math>
\end{cases}
</math>
 
นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย
::<math> 0! = 1 \;</math>
ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก
 
* การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
* ความสัมพันธ์เวียนเกิด::<math> {{nowrap|(''n'' + 1)! {{=}} ''n''! \cdot× (''n-'' + 1)! </math>}} ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ ''n'' > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี ''n'' = 0 ได้ด้วย
* นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่น[[ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง]]ในรูปแบบอนุกรมกำลัง
:*:<math> e^x = \sum_{n = 0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} </math>
* เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจาก[[เซตว่าง]]เท่ากับ <math> binom\tbinom{0}{0} = frac\tfrac{0!}{0!0!} = 1</math> หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) ''n'' ตัวจากเซตที่มีขนาด ''n'' เท่ากับ <math> binom\tbinom nn = frac\tfrac{n!}{n!0!} = 1</math>
 
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียด[[#การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม|ด้านล่าง]] ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ใน[[เครื่องคิดเลข]]ระดับสูงและ[[ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์]]อาทิ[[เมเพิล]]หรือ[[แมเทอแมติกา]]
เส้น 92 ⟶ 90:
::<math>n! > \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
 
และอีกสูตร คือ การประมาณค่า log ''n''! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย [[ศรีนิวาสะ รามานุจัน]] ดังนี้ <ref>{{citation|first=Srinivasa|last=Ramanujan|title=The lost notebook and other unpublished papers▼
หรือใช้ [[การประมาณของวัชริศ]] (Vatcharit's approximation) ที่ให้ผลลัพธ์ใกล้เคียงกับ สูตรสเตอร์ลิง ดังสูตรนี้
::<math>n!\approx \frac{\sqrt{2\pi (n+1)}}{e}\left(\frac{n+1}{e}\right)^n</math>
:โดย จุดต่าง คือ สูตรประมาณของวัชริศ จะมีเส้นกราฟช่วงค่า -1 ถึง 0 ที่ใกล้เคียงกราฟ <math>\Gamma(n+1)</math> ด้วย
:
 
▲และอีกสูตร คือ การประมาณค่า log ''n''! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย [[ศรีนิวาสะ รามานุจัน]] ดังนี้ <ref>{{citation|first=Srinivasa|last=Ramanujan|title=The lost notebook and other unpublished papers
|publisher=Springer Berlin |page=339 |year=1988|isbn=354018726X}}</ref>
::<math>\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\log(\pi)} {2}</math>
เส้น 104 ⟶ 97:
=== ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย ===
{{บทความหลัก|ฟังก์ชันแกมมา}}
[[ไฟล์:Generalized factorial function.svg|thumb|right|325px|ฟังก์ชันแฟกทอเรียลที่วางนัยทั่วไปบนจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง 0!&nbsp;=&nbsp;1!&nbsp;=&nbsp;1, (−&minus;0.5)!&nbsp;=&nbsp;&radic;''&pi;'', (0.5)!&nbsp;=&nbsp;&radic;''&pi;''/2]]
นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจาก[[คณิตวิเคราะห์]] ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่า[[ฟังก์ชันแกมมา]] (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ(''z'') ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน ''z'' ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ ''z'' เป็นจำนวนบวก ดังนี้
::<math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t</math>
เส้น 143 ⟶ 136:
 
อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของ[[ฌัก อาดามาร์]] (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็น[[ฟังก์ชันทั่ว]] (entire function) <ref>{{citation |first=M. J. |last=Hadamard
|title=Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1n&minus;1) Par Une Fonction Entière
|publisher=''OEuvres de Jacques Hadamard'', Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968
|url=http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf|year=1894 |language=French}}</ref><ref>Peter Luschny, [http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html ''Hadamard versus Euler - Who found the better Gamma function?''].</ref>
เส้น 183 ⟶ 176:
 
ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ ''n'' = -1, -3, -5, -7,... คือ
: 1, -1, {{เศษ|1|3}}, {{เศษ|-1|15}}, ...
 
เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/แฟกทอเรียล"