วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "เรขาคณิตวิเคราะห์"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม)
ผู้ตรวจตรา
การแก้ไข 131,454 ครั้ง
Jamesped629 (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 2 ครั้ง
ปรับปรุงการพิมพ์และเนื้อหาบางส่วนที่เป็นคณิตศาสตร์มากขึ้น
บรรทัด 1:
{{รอการตรวจสอบ}}
{{ช่วยดูหน่อย}}
[[ไฟล์:Punktkoordinaten.PNG|thumb|Cartesianระบบพิกัดฉาก coordinates|alt=|225.994x225.994px]]
'''เรขาคณิตวิเคราะห์''' (Analytic Geometry) เป็น[[คณิตศาสตร์]]แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane) ซึ่งเป็น การศึกษาความสัมพันธ์ของเรขาคณิตและพีชคณิต (นำพีชคณิตมาแก้ปัญหาเชิงเรขาคณิต)
 
สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์จึงจะแบ่งได้ดังนี้เป็น 3 ตอน คือ ระบบพิกัดฉาก จุด และเส้นตรง
 
== ระบบพิกัดฉาก (Rectangular coordinate system) ==
1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง สองเส้นเส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน เรียกว่า
'''ระบบแกนพิกัดฉาก (Rectangular coordinate system)''' คือ ระบบที่บอกพิกัดของจุดด้วยระยะห่างจากแกน (เส้นตรง) ที่ตัดกันเป็นมุมฉาก โดยแกนในแนวนอน เรียกว่า'''แกน''' <math>X</math> และแกนในแนวตั้ง เรียกว่า'''แกน''' <math>Y</math> ซึ่งมีจุดที่แกนทั้งสองตัดกัน เรียกว่า '''จุดกำเนิด (Origin)''' เขียนแทนด้วย <math>O</math> ซึ่งคือจุด <math>(0,0)</math> นั่นเอง ทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นของการนับระยะบนแกนทั้งสอง
แกน x อีกเส้นหนึ่งอยู่ในแนวตั้งเรียกว่าแกน y ทั้งสองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และเรียกจุดตัดว่า จุดกำเนิด
y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่ III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-)
2. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด▼
ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และจุด Q หาได้โดย
 
และจากการตัดกันของระนาบทั้งสองทำให้ได้พื้นที่จากการตัดกันได้ 4 พื้นที่ เรียกแต่ละพื้นที่นี้ว่า '''จตุภาค''' หรือ '''ควอดรันต์ (Quadrant)''' ซึ่งจะบ่งบอกตำแหน่งของพิกัดนั่นเอง โดยแต่ละจตุภาคจะแบ่งเป็นประจุของจำนวนจริงได้ดังนี้
PQ = (x2-x1)2 + (y2-y1) 2
 
จตุภาคที่ 1 : <math>(+,+)</math> เช่น <math>(3,5), (7,8), \Biggl(\frac{4}{2},\frac{6}{7}\Biggr), \Bigl(\sqrt{5},3\Bigr)</math>
3. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด▼
ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง P และ Q เราสามารถหาจุด M ได้ดังนี้
 
จตุภาคที่ 2 : <math>(-,+)</math> เช่น <math>(-1,6), (-12,52), \Biggl(\frac{-3}{2},\frac{6}{7}\Biggr), \Bigl(-\sqrt{5},3\Bigr)</math>
จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2
2 2
 
จตุภาคที่ 3 : <math>(-,-)</math> เช่น <math>(-1,-6), (-7,-7), \Biggl(\frac{-1}{14},\frac{-14}{85}\Biggr), \Bigl(-\sqrt{47},-\sqrt{31}\Bigr)</math>
4. สมการของเส้นตรง Q(x2,y2)▼
4.1 ความชัน(slop)=tan=m
 
จตุภาคที่ 4 : <math>(+,-)</math> เช่น <math>(1,-6), (11,-7), \Biggl(\frac{5}{14},\frac{-8}{7}\Biggr), \Bigl(\sqrt{13},-\sqrt{44}\Bigr)</math>
Q(x1,y1)
 
ซึ่งจะนับจตุภาคที่ 1 ในส่วนพื้นที่บนขวา แล้ววนทวนเข็มนาฬิกา
 
== จุด (Point) ==
ความชัน = m = y2 - y1
สำหรับการวิเคราะห์จุดจะแบ่งได้ดังนี้
x2 - x1
 
▲2=== 1. การหาระยะทางห่างระหว่างจุด 2 จุด ===
4.2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชันเท่ากับ m คือ ▼
<blockquote>
'''ทฤษฎีบทที่ 1''' กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math>และให้ ''<math>|PQ|</math>'' เป็นระยะห่างระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' จะได้ว่า''<math> |PQ|=\sqrt{\bigl(x_{1}-x_{2})^2+\bigl(y_{1}-y_{2}\bigr)^2}</math>''
y - y1 = m(x - x1)
</blockquote>
 
▲3=== 2. จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด ===
4.3 สมการเส้นตรงที่มี y -intercept เท่ากับ b และมีความชันเท่ากับ m คือ
<blockquote>
'''ทฤษฎีบทที่ 2''' กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math> และให้ <math> R</math> เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรง <math>PQ</math> แล้ว พิกัดของจุด ''<math> R</math>'' คือ <math> R\biggl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\biggr)</math>
</blockquote>
 
=== 3.จุดที่แบ่งระยะทางเป็นระยะ <math> m:n</math> ===
y = mx + b
<blockquote>
'''ทฤษฎีบทที่ 3''' กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math> และให้ <math> R</math> เป็นเป็นจุดที่แบ่งระยะทางเป็นสัดส่วนระยะ <math> m:n</math>ระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรง <math>PQ</math> แล้ว พิกัดของจุด ''<math> R</math>'' คือ <math> R\biggl(\frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n},\frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n}\biggr)</math>
</blockquote>
 
== เส้นตรง (Linear) ==
4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ
Ax + By + C = 0
 
วิธีการหา=== 1. ความชันของเส้นตรง ===
<blockquote>
Ax + By + C = 0
'''บทนิยาม''' ให้เส้นตรง <math> \ell</math> เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> โดยที่ <math>x_{1}\ne y_{2}</math> และให้ <math>m</math> แทนความชันของเส้นตรงจะได้ว่า <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=tan \theta</math>
</blockquote>ความสัมพันธ์ของความชันของเส้นตรง
 
1. ถ้าเส้นตรง 2 เส้นใด ๆ ตั้งฉากกันแล้ว <math>m_{1}m_{2}=-1</math>
 
2. ถ้าเส้นตรง 2 เส้นใด ๆ ขนานกันแล้ว <math>m_{1}=m_{2}</math>
 
=== 2. สมการเส้นตรง ===
สำหรับสมการเส้นตรงนั้นจะเขียนได้ 3 แบบ คือ
 
▲4'''2. 1 สมการของเส้นตรง (Linear equation)''' Q(x2,y2)
 
<math>y-y_{1}=m(x-x_{1})</math>
 
'''2.2 สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน (Standard Form)'''
 
'''<math>y=mx+c</math>''' เมื่อ <math>c</math> คือ ระยะตัดแกน <math>Y</math>
 
'''2.3 สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป (General form of linear equation)'''
 
'''<math>Ax+By+C=0</math>'''
 
จากสมการ 2.3 เมื่อเทียบกับสมการ 2.2 จะได้ ความชัน คือ <math>m=-\frac{A}{B}</math> และระยะตัดแกน คือ ''<math>c=-\frac{C}{B}</math>''
 
▲ 4.2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด <math>(xx_{1},yy_{1})</math> และมีความชันเท่ากับ m คือ
พักก่อน 25/7/62 เสร็จแน่
 
m=-A/B
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/เรขาคณิตวิเคราะห์"