ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนฟีโบนัชชี"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ไม่มีความย่อการแก้ไข ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่ |
ล ย้อนการแก้ไขที่อาจเป็นการทดลอง หรือก่อกวนด้วยบอต ไม่ควรย้อน? แจ้งที่นี่ |
||
บรรทัด 14:
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาว[[อิตาลี]]ชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนาม[[เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี|ฟีโบนัชชี]] (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13
== รูปปิด ==
เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วย[[ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด]]เชิงเส้น เราจึงสามารถหา[[รูปปิด]]ของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า ''สูตรของ[[จาค ฟิลิปป์ มารี บิเนต์|บิเนต์]]'' มีดังต่อไปนี้
:<math>F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}</math>
โดย <math>\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.618</math> เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่า[[อัตราส่วนทองคำ]]
'''การพิสูจน์:'''
พิจารณาสมการพหุนาม <math>x^2=x+1</math> เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย <math>x^{n-1}</math> เราได้ว่า
:<math>x^{n+1} = x^n + x^{n-1}\,</math>
ผลเฉลยของสมการ <math>x^2=x+1</math> ได้แก่ <math>\varphi</math> และ <math>1-\varphi</math> ดังนั้น
:{|
|<math>\varphi^{n+1} \,</math> || = <math>\varphi^n + \varphi^{n-1}\,</math> และ
|-
|<math>(1-\varphi)^{n+1}\,</math> || = <math>(1-\varphi)^n + (1-\varphi)^{n-1}\,</math>
|}
พิจารณาฟังก์ชัน
:<math>F_{a,b}(n) = a\varphi^n+b(1-\varphi)^n</math> เมื่อ <math>a</math> และ <math>b</math> เป็นจำนวนจริงใดๆ
เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี
:{|
|<math>F_{a,b}(n+1)\,</math>||<math> = a\varphi^{n+1}+b(1-\varphi)^{n+1}</math>
|-
| ||<math>=a(\varphi^{n}+\varphi^{n-1})+b((1-\varphi)^{n}+(1-\varphi)^{n-1})</math>
|-
| ||<math>=a{\varphi^{n}+b(1-\varphi)^{n}}+a{\varphi^{n-1}+b(1-\varphi)^{n-1}}</math>
|-
| ||<math>=F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,</math>
|}
เลือก <math>a=1/\sqrt 5</math> and <math>b=-1/\sqrt 5</math> เราได้ว่า
:<math>F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}=0=F(0)\,\!</math>
และ
:<math>F_{a,b}(1)=\frac{\varphi}{\sqrt 5}-\frac{(1-\varphi)}{\sqrt 5}=\frac{-1+2\varphi}{\sqrt 5}=\frac{-1+(1+\sqrt 5)}{\sqrt 5}=1=F(1)</math>
เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของ[[การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์]]ของข้อความ <math>F_{a,b}(n) = F(n)</math> และใช้เอกลักษณ์ของ <math>F_{a,b}</math> พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า
:<math>F(n)={{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}</math> สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ <math>n</math> ทุกตัว
เนื่องจาก <math>|1-\varphi|^n/\sqrt 5 < 1/2</math> สำหรับทุกๆ <math>n>0\,\!</math> เราจึงได้ว่า <math>F_n\,\!</math> จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ <math>\varphi^n/\sqrt 5</math> ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้[[ฟังก์ชันพื้น]] (floor function) ได้ว่า
:<math>F(n)=\bigg\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\bigg\rfloor</math>
== ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ ==
| |||