ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ภาวะคู่หรือคี่ของ 0"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Portalian (คุย | ส่วนร่วม)
BotKung (คุย | ส่วนร่วม)
เก็บกวาดบทความด้วยบอต
บรรทัด 31:
นิยามแน่ชัดของศัพท์คณิตศาสตร์อย่าง "คู่" หมายถึง "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" สุดท้ายเป็นสัญนิยม ต่างจาก "คู่" ศัพท์คณิตศาสตร์บางคำเจตนาสร้างขึ้นเพื่อตัดกรณีที่ชัดหรือ[[ภาวะลดรูป|ลดรูป]] ตัวอย่างที่ขึ้นชื่อได้แก่[[จำนวนเฉพาะ]] ก่อนคริสต์ศตวรรษที่ 20 นิยามของจำนวนเฉพาะยังขัดกัน และนักคณิตศาสตร์คนสำคัญ เช่น กอลด์บัค, ลัมแบร์ท, [[อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์|เลอฌ็องดร์]], เคลีย์, โครเนคเคอร์ เป็นต้น เขียนว่า [[1]] เป็นจำนวนเฉพาะ{{sfn|Caldwell|Xiong|2012|pp=5–6}} นิยามสมัยใหม่ของ "จำนวนเฉพาะ" คือ "จำนวนเต็มบวกที่มี 2 [[ตัวประกอบ]]" ฉะนั้น 1 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ สามารถให้เหตุผลนิยามนี้โดยสังเกตว่านิยามนี้สอดคล้องกับทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ว่าด้วยจำนวนเฉพาะมากกว่าโดยสภาพ ตัวอย่างเช่น [[ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต]]สามารถระบุได้ง่ายขึ้นเมื่อไม่พิจารณา 1 เป็นจำนวนเฉพาะ<ref>{{harvnb|Gowers|2002|p=118}} "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see {{harvtxt|Caldwell|Xiong|2012}}.</ref>
 
ในทำนองเดียวกัน เป็นไปได้ท่ี่ท่จะนิยามใหม่ให้คำว่า "คู่" ไม่รวม 0 ด้วย ทว่า ในกรณีนั้น นิยามใหม่จะทำให้การระบุทฤษฎีบทว่าด้วยจำนวนคู่ยากขึ้น ผลสามารถเห็นได้ทันทีในกฎเลขคณิตเกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่<ref name="Partee">{{harvnb|Partee|1978|p=xxi}}</ref> โดยกฎที่เกี่ยวข้องมากที่สุดว่าด้วยการบก การลบ และการคูณ คือ
:คู่ ± คู่ = คู่
:คี่ ± คี่ = คู่
บรรทัด 52:
 
=== ไม่เป็นคี่ ===
จำนวน {{mvar|n}} เป็นคี่เมื่อจำนวนเต็ม {{mvar|k}} โดยที่ {{math|1=''n'' = 2''k'' + 1}} วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ว่า 0 ไม่เป็นคี่คือ[[การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง|ใช้ข้อขัดแย้ง]] คือ ถ้า {{math|1=0 = 2''k'' + 1}} แล้ว {{math|1=''k'' = &minus;1/2}} ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม{{sfn|Penner|1999|p=34}} เนื่องจาก 0 ไม่ใช่คี่ หากพิสูจน์แล้วจำนวนที่ยังไม่ทราบแล้วว่าเป็นคี่ จำนวนนั้นจะเป็น 0 ไม่ได้ ข้อสังเกตที่ดูเล็กน้อยนี้สามารถให้ข้อพิสูจน์ที่สะดวก และเปิดเผยข้อพิสูจน์ซึ่งอธิบายว่าเหตุใดจำนวนดังกล่าวจึงไม่เป็น 0
 
ผลลัพธ์คลาสสิกของทฤษฎีกราฟระบุว่า[[กราฟ (คณิตศาสตร์)|กราฟ]]อันดับคี่ (คือ มี[[จุดยอด]]จำนวนคี่) จะมีจุดยอดที่มี[[ระดับขั้น]]คู่อย่างน้อยหนึ่งจุดยอดเสมอ ([[ประพจน์]]นี้ต้องให้ 0 เป็นคู่ เพราะ[[กราฟว่าง]]มีระดับขั้นคู่ และจุดยอดเอกเทศมีระดับขั้นคู่)<ref name=Berlinghoff>{{harvnb|Berlinghoff|Grant|Skrien|2001}} For isolated vertices see p. 149; for groups see p. 311.</ref> ในการพิสูจน์ประพจน์นี้ แท้จริงแล้วการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เข้มกว่าจะง่ายกว่า คือ กราฟอันดับคี่ใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคู่เป็นจำนวนคี่ ลักษณะของจำนวนคี่นี้อธิบายโดยผลลัพธ์ทั่วไปกว่า ที่เรียก [[บทตั้งการจับมือ]] คือ กราฟใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคี่เป็นคู่<ref>{{harvnb|Lovász|Pelikán|Vesztergombi|2003|pp=127–128}}</ref> สุดท้าย จำนวนจุดยอดคี่เป็นคู่นั้นอธิบายได้จากสูตรผลรวมระดับขั้นโดยสภาพ
บรรทัด 74:
=== แบบรูปพีชคณิต ===
[[ไฟล์:EvenIntegersSubgroup.svg|left|thumb|alt=Integers −4 through +4 arranged in a corkscrew, with a straight line running through the evens |2'''Z''' (สีน้ำเงิน) เป็นกรุปย่อยของ '''Z''']]
ใน[[พีชคณิตนามธรรม]] จำนวนเต็มคู่ก่อโครงสร้างเชิงพีชคณิตต่าง ๆ ซึ่งต้องอาศัยการมีเลข 0 ข้อเท็จจริงที่ว่า[[เอกลักษณ์การบวก]] (0) เป็นคู่ ร่วมกับผลรวมและ[[ตัวผกผันการบวก]]ของจำนวนคู่เป็นคู่และ[[สมบัติการเปลี่ยนหมู่]]ของการบวก หมายความว่า จำนวนเต็มบวกจัดเป็น[[กรุป (คณิตศาสตร์)|กรุป]]หนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น กรุปจำนวนเต็มคู่ภายใต้การบวกเป็น[[กรุปย่อย]]ของกรุปจำนวนเต็มทั้งหมด นี่เป็นตัวอย่างพื้นฐานของมโนทัศน์กรุปย่อย<ref name=Berlinghoff /> การสังเกตก่อนหน้านี้ี่ว่านี้่ว่า "คู่ − คู่ = คู่" บังคับให้ 0 เป็นคู่เป็นส่วนหนึ่งของแบบรูปทั่วไป คือ สับเซตที่ไม่ว่างใด ๆ ของกรุปการบวกซึ่ง[[สมบัติการปิด|มีสมบัติปิด]]ภายใต้การลบจะต้องเป็นสับกรุป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องมี[[สมาชิกเอกลักษณ์]]<ref>{{harvnb|Dummit|Foote|1999|p=48}}</ref>
 
เนื่องจากจำนวนเต็มคู่เป็นกรุปย่อยของจำนวนเต็ม จึงแบ่งกั้นจำนวนเต็มออกเป็น[[เซตร่วมเกี่ยว]] อาจอธิบายเซตร่วมเกี่ยวได้เป็น[[ชั้นสมมูล]]ของ[[ความสัมพันธ์สมมูล]]ดังนี้ {{nowrap|''x'' ~ ''y''}} ถ้า {{nowrap|(''x'' − ''y'')}} เป็นคู่ ในที่นี้ ภาวะคู่ของ 0 สำแดงออกโดยตรงเป็น[[ความสัมพันธ์สะท้อน]]ของ[[ความสัมพันธ์ทวิภาค]] ~<ref>{{harvnb|Andrews|1990|p=100}}</ref> มีเซตร่วมเกี่ยวเพียง 2 เซตในกรุปย่อยนี้ คือ จำนวนคู่และคี่ ฉะนั้นจึงมีดัชนี 2
บรรทัด 99:
แผนภาพด้านขวามือ<ref name="Frobisher41" /> แสดงความเชื่อของเด็กเกี่ยวกับภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เมื่อพวกเขาผ่านจากปี 1 ถึงปี 6 ของระบบการศึกษาอังกฤษ ข้อมูลนี้ได้จากเล็น โฟรบิเชอร์ ซึ่งทำการสำรวจเด็กนักเรียนชาวอังกฤษ โฟรบิเชอร์สนใจว่าความรู้ภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวเปลี่ยนเป็นความรู้ว่าด้วยภาวะคู่หรือคี่เลขโดดหลายตัวอย่างไร และ 0 มีส่วนสำคัญในผลลัพธ์ดังกล่าว
 
ในการสำรวจขั้นต้นเด็กนักเรียน 7 ขวบเกือบ 400 คน มี 45% เลือกตอบคู่เมื่อถูกถามเรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=37, 40, 42}}; results are from the survey conducted in the mid-[[Academic term#United Kingdom|summer term]] of 1992.</ref> การสำรวจติดตามให้คำตอบเพิ่มขึ้น คือ ไม่ใช่ทั้งคู่และคี่ เป็นทั้งคู่และคี่และไม่ทราบ ครั้งนี้จำนวนเด็กในพิสัยอายุเดียวกันที่บอกว่า 0 เป็นคู่ลดลงเหลือ 32%<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "The percentage of Year 2 children deciding that zero is an even number is much lower than in the previous study, 32 per cent as opposed to 45 per cent"</ref> ความสำเร็จในการตัดสินว่า 0 เป็นคู่นั้นทีแรกเพิ่มขึ้นแล้วคงที่อยู่ประมาณ 50% ในปีที่ 3 ถึงปีที่ 6<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "The success in deciding that zero is an even number did not continue to rise with age, with approximately one in two children in each of Years 2 to 6 putting a tick in the 'evens' box ..."</ref> เมืื่อเมื่อเทียบกับการระบุภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวซึ่งเป็นงานที่ง่ายที่สุด ความสำเร็จอยู่ที่ประมาณ 85%<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=40–42, 47}}; these results are from the February 1999 study, including 481 children, from three schools at a variety of attainment levels.</ref>
 
ในการสัมภาษณ์ โฟรบิเชอร์ค้นหาการให้เหตุผลของนักเรียน นักเรียนปี 5 คนหนึ่งตัดสินว่า 0 เป็นคู่เพราะพบใน[[สูตรคูณ]]แม่ 2 นักเรียนปี 4 สองคนพบว่า 0 สามารถแบ่งออกได้เป็นสองส่วนเท่ากัน นักเรียนปี 4 อีกคนหนึ่งให้เหตุผลว่า "1 เป็นคี่และถ้าฉันนับถอยหลังมา มันจะเป็นคู่"<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Jonathan"</ref> การสัมภาษณ์ยังเปิดเผยความเข้าใจผิดเบื้องหลังคำตอบผิดด้วย นักเรียนปี 2 คนหนึ่ง "ค่อนข้างเชื่อมั่น" ว่า 0 เป็นคี่ บนเหตุผลว่า "มันเป็นเลขแรกที่คุณนับ"<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Joseph"</ref> นักเรียนปี 4 คนหนึ่งเรียก 0 ว่า "ไม่มี" และคิดว่าไม่เป็นทั้งคี่หรือคู่ เพราะ "มันไม่ใช่จำนวน"<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Richard"</ref> ในอีกการศึกษาหนึ่ง แอนนี คีธสังเกตชั้นเรียนนักเรียนปี 2 จำนวน 15 คนซึ่งชักจูงกันและกันว่า 0 เป็นจำนวนคู่โดยอาศัยการสลับคู่-คี่และความเป็นไปได้ในการแบ่งกลุ่มวัตถุ 0 วัตถุออกเป็นสองกลุ่มเท่ากัน<ref>{{harvnb|Keith|2006|pp=35–68}} "There was little disagreement on the idea of zero being an even number. The students convinced the few who were not sure with two arguments. The first argument was that numbers go in a pattern ...odd, even, odd, even, odd, even... and since two is even and one is odd then the number before one, that is not a fraction, would be zero. So zero would need to be even. The second argument was that if a person has zero things and they put them into two equal groups then there would be zero in each group. The two groups would have the same amount, zero"</ref>
บรรทัด 124:
 
=== ความรู้ของครู ===
คณะนักวิจัยการศึกษาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมิชิแกนรวมโจทย์จริงหรือเท็จ "0 เป็นจำนวนคู่" ในฐานข้อมูลคำถามกว่า 250 คำถามซึ่งออกแบบมาเพื่อวัดความรู้เนื้อหาของครู สำหรับผู้วิจัย "ความรู้ทั่วไป ... ซึ่งผู้ใหญ่ที่มีการศึกษาดีทุกคนพึงมี" และ "เป็นกลางทางอุดมการณ์" ตรงที่ว่าคำตอบไม่แตกต่างกันระหว่างคณิตศาสตร์ดั้งเดิมกับคณิตศาสตร์ปฏิรูป ในการวิจัยครูประถมศึกษาจำนวน 700 คนระหว่างปี 2543–2547 ในสหรัฐ สมรรถนะโดยรวมของคำถามเหล่านี้สามารถพยากรณ์พัฒนาการผลทดสอบมาตรฐานของนักเรียนได้อย่างมีนัยสำคัญหลังเข้าเรียนในชั้นเรียนของครูคนนั้น ๆ<ref>{{harvnb|Ball|Hill|Bass|2005|pp=14–16}}</ref> ในการวิจัยเชิงลึกขึ้นในปี 2551 ผู้วิจัยพบโรงเรียนแห่งหนึ่งท่ี่ท่ครูทุกคนคิดว่า 0 ไม่เป็นคี่และคู่ ซึ่งรวมถึงครูผู้หนึ่งที่เป็นแบบอย่างในทุกกรณี ศึกษานิเทศก์คณิตศาสตร์ผู้หนึ่งในโรงเรียนนั้นเป็นผู้เผยแพร่ความเข้าใจผิดดังกล่าว{{sfn|Hill|Blunk|Charalambous|Lewis|2008|pp=446–447}}
 
ไม่แน่ชัดว่าครูมากน้อยเพียงใดมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับ 0 คณะนักวิจัยจากมหาวิทยาลัยมิชิแกนไม่ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ข้อมูลสำหรับคำถามแต่ละคำถาม เบตตี ลิชเทนเบิร์ก (Betty Lichtenberg) ผู้ช่วยศาสตราจารย์การศึกษาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเซาท์ฟลอริดา ในการศึกษาปี 2515 รายงานว่าเมื่อกลุ่มครูโรงเรียนประถมตามแผนได้รับการทดสอบจริงหรือเท็จซึ่งมีคำถามหนึ่งว่า "0 เป็นจำนวนคู่" ครูเหล่านั้นคิดว่าเป็น "คำถามลวง" โดยสองในสามตอบ "เท็จ"<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=535}}</ref>
บรรทัด 136:
ผู้ใหญ่ที่เชื่อว่า 0 เป็นคู่นั้นก็ยังไม่คุ้นเคยกับการคิดว่ามันเป็นคู่ จนสามารถทำให้การตอบสนองช้าลงในการทดลองเวลาปฏิกิริยาจนวัดได้ สตานิสลัส เดอแอน (Stanislas Dehaene) ผู้บุกเบิกในสาขาประชานจำนวน นำการทดลองดังกล่าวหลายครั้งในต้นคริสต์ทศวรรษ 1990 มีการฉาย[[ระบบเลข|เลข]]หรือคำเลข (number word) บน[[จอภาพ]]แก่ผู้รับการทดลอง แล้วให้[[คอมพิวเตอร์]]บันทึกเวลาที่ผู้รับการทดลองใช้ในการกดเลือกปุ่มว่าจำนวนที่ฉายนั้นเป็นคู่หรือคี่ ผลลัพธ์แสดงว่าผู้รับการทดลองประมวลเลข 0 ช้ากว่าเลขคู่อื่น มีความแปรผันในการทดลองบางอย่างพบความล่าช้ามากถึง 60 มิลลิวินาที หรือประมาณ 10% ของเวลาปฏิกิริยาเฉลี่ย ซึ่งเป็นความแตกต่างเล็กน้อยแต่มีความสำคัญ<ref>ดูข้อมูลทั้ง {{harvtxt|Dehaene|Bossini|Giraux|1993}}, และสรุปโดย {{harvtxt|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p=837}}.</ref>
 
การทดลองของเดอแอนมิได้ออกแบบมาเพื่อสอบสวนเลข 0 โดยเฉพาะแต่เพื่อเรียบเทียบแบบจำลองต่าง ๆ ว่าประมวลผลและแยกสารสนเทศภาวะคู่หรือคี่อย่างไร แบบจำลองที่จำเพาะที่สุด คือ สมมติฐานการคำนวณในใจ เสนอว่าปฏิกิริยาต่อ 0 ควรเร็ว เพราะ 0 เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย และการคำนวณ 0 × 2 = 0 ง่าย (ผู้ศึกษาทราบว่าผู้รับการทดลองคำนวณและตอบผลลัพธ์การคูณด้วย 0 เร็วกว่าการคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ 0 แม้ผู้รับการทดลองใช้เวลานานกว่่านานกว่าในการยืนยันผลลัพธ์อย่าง 2 × 0 = 0) ผลลัพธ์ของการทดลองนี้เสนอสิ่งที่คลาดเคลื่อนไปจากสมมติฐาน คือ สารสนเทศภาวะคู่หรือคี่ดูเหมือนถูกเรียกมาจากความทรงจำร่วมกับกลุ่มคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง เช่น เป็น[[จำนวนเฉพาะ]]หรือกำลังของ 2 และลำดับของจำนวนคู่บวก 2, 4, 6, 8, ... เป็นหมวดหมู่ทางจิตที่แยกแยะได้ง่ายว่าสมาชิกเป็นต้นแบบเลขคู่ 0 ไม่อยู่ในรายการใด ฉะนั้นจึงมีการตอบสนองช้ากว่า<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=374–376}}</ref>
 
การทดลองซ้ำ ๆ ต่างแสดงว่าผู้รับการทดลองช้าที่เลข 0 ไม่ว่ามีภูมิหลังอายุ สัญชาติ หรือภาษา หรือไม่ว่าเผชิญกับชื่อเลขในรูปตัวเลข สะกดเป็นอักษร และสะกดในภาพกระจก แต่กลุ่มของเดอแอนพบปัจจัยแยกกันปัจจัยหนึ่ง คือ ความชำนาญทางคณิตศาสตร์ ในการทดลองของพวกเขาครั้งหนึ่ง นักศึกษาในเอกอลนอร์มาลซูว์เปรีเยอร์ ({{lang|fr|''École Normale Supérieure''}}) ถูกแบ่งเป็นสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งศึกษาวรรณคดี และอีกกลุ่มหนึ่งศึกษาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ หรือชีววิทยา ความช้าที่เลข 0 "พบโดยสำคัญในกลุ่ม [วรรณคดี]" และที่จริง "ก่อนการทดลอง ผู้รับการทดลองบางคนไม่มั่นใจว่า 0 เป็นคี่หรือคู่ และต้องได้รับการย้ำนิยามทางคณิตศาสตร์"<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=376–377}}</ref>