ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สมการชเรอดิงเงอร์"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ไม่มีความย่อการแก้ไข ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่ |
ล ย้อนการแก้ไขที่อาจเป็นการทดลอง หรือก่อกวนด้วยบอต ไม่ควรย้อน? แจ้งที่นี่ |
||
บรรทัด 6:
สมการชเรอดิงเงอร์แบ่งออกได้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา และสมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา
== สมการ ==
=== สมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา ===
{{Equation box 1
| indent = :
| title = '''Time-dependent Schrödinger equation''' '' (general) ''
| equation = <math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi (\mathbf{r},t) = \hat H \Psi (\mathbf{r},t)</math>
|cellpadding
|border
| border colour = #50C878
| background colour = #ECFCF4}}
โดยที่
{{math|''i''}} คือ [[หน่วยจินตภาพ]]
{{math|''ħ''}} คือ [[ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า]]
สัญลักษณ์ {{math|{{sfrac|∂|∂''t''}}}} แสดงถึง [[อนุพันธ์ย่อย]]เทียบกับเวลา {{math|''t''}}
{{math|''Ψ''}} (อักษรกรีก[[พไซ]]) คือ [[ฟังก์ชันคลื่น]]ในระบบควอนตัม
{{math|'''r'''}} และ {{math|''t''}} คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งและเวลาตามลำดับ
{{math|''Ĥ''}} คือ [[ตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน]]
=== สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ===
{{Equation box 1
| indent = :
| title = '''Time-independent Schrödinger equation''' (''general'')
| equation = <math>\operatorname{\hat H}\Psi=E\Psi</math>
|cellpadding
|border
| border colour = #50C878
| background colour = #ECFCF4}}
สมการนี้เป็นการเขียนให้อยู่ในรูป[[ตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน]] ซึ่งจะเรียกสมการนี้ว่าสมการ[[Eigenvalue]] ที่มีค่าคงตัว {{math|''E''}} เป็น [[Eigenvalue]] และมี {{math|''Ψ''}} เป็น [[Eigen function]]
ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น [[ศักย์แบบขั้นบันได]] [[กำแพงศักย์]] [[บ่อศักย์แบบอนันต์]] [[บ่อศักย์แบบลึกจำกัด]] เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทาง[[กลศาสตร์ดั้งเดิม]]แก้ปัญหาอย่างชัดเจน
=== สมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมไฮโดรเจน ===
ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ ออร์บิทัลของ[[อะตอมคล้ายไฮโดรเจน]]เป็น[[ไอเกนฟังก์ชัน]]ของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน 1 ตัว ในแกน ''z'' (''L''<sub>z</sub>) ออบิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน(hydrogen-like atom) สามารถหาได้จากเลขควอนตัมหลัก ''n'' เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม ''l'' และเลขควอนตัมแม่เหล็ก m พลังงานเฉพาะของอะตอมมีค่าขึ้นกับค่า ''n'' เท่านั้น เราจึงต้องบวกเลขควอนตัมการหมุน ''m<sub>s</sub>'' = ±½ สำหรับในออร์บิทัลที่มีระดับพลังงานเท่ากันของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน ค่า ''n'', ''l'', ''m'' and ''s'' จะมีค่าเฉพาะที่เปลี่ยนไปตามระดับพลังงาน
การวิเคราะห์สมการชโรดิงเจอร์ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวนั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากมีแรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนเข้ามาเกี่ยวข้องกับการคำนวณ เราจึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) มาช่วยคำนวณ เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นหรือสมบัติทางควอนตัมอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงใช้แบบจำลองของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนในการแก้ปัญหา
จากกฎของคูลอมบ์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นดังสมการ
:<math>V(r) = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math>
เมื่อ
* ε<sub>0</sub> คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ,
* ''Z'' คือ เลขอะตอม (จำนวนโปรตอนในนิวเคลียส),
* ''e'' คือ ประจุของอิเล็กตรอน,
* ''r'' คือ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส
ดังนั้นจะได้สมการคลื่น (ในพิกัดทรงกลม) เป็น
:<math>\psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)\,</math>
โดย <math>Y_{lm}</math> คือ [[ฮาร์มอนิกส์ทรงกลม]]
จะได้สมการชโรดิงเจอร์
:<math>
\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \left({1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right) + V(r)R(r) \right]= E R(r),
</math>
โดย <math>\mu</math> คือ [[มวลลดทอน]]
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
| |||