วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "แฟร็กทัล"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
Illegitimate Barrister (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 325 ครั้ง
Potapt (คุย | ส่วนร่วม)
ผู้ตรวจตรา
การแก้ไข 194,259 ครั้ง
ไม่มีความย่อการแก้ไข
บรรทัด 1:
[[ไฟล์:Mandelpart2.jpg|right|thumbnail|300px|ภาพแฟร็กทัล จาก [[เซตมานดัลบรอม็องแดลโบรต]], วาดโดยการพล็อตสมการวนซ้ำไปเรื่อย ๆ]]
 
'''แฟร็กทัล''' ({{lang-en|Fractal}}) ในปัจจุบันเป็นคำที่ใช้ในเชิง[[วิทยาศาสตร์]]และ[[คณิตศาสตร์]] หมายถึง วัตถุทาง[[เรขาคณิต]] ที่มีคุณสมบัติ[[คล้ายตนเอง]] คือ ดูเหมือนกันไปหมด (เมื่อพิจารณาจากแง่ใดแง่หนึ่ง) ไม่ว่าจะดูที่ระดับความละเอียด (โดยการส่องขยาย) หรือ สเกลใดก็ตาม
 
คำว่า แฟร็กทัล นี้ [[เบอนัว มานดัลบรอม็องแดลโบรต]] เป็นคนบัญญัติขึ้นในปี [[ค.ศ. 1975]] จากคำว่า ''fractus'' ใน[[ภาษาละติน]] ซึ่งแปลว่า แตก หรือ ร้าว
 
== ประวัติ ==
[[ไฟล์:Flocke.PNG|right|thumb|เกล็ดหิมะค็อค]]
ได้มีการค้นพบสิ่งที่เรารู้จักกันในนามของแฟร็กทัลนั้น ได้ถูกค้นพบแฟร็กทัลมานานก่อนที่คำว่า "แฟร็กทัล" จะถูกได้รับการบัญญัติขึ้นมาใช้เรียกสิ่งเหล่านี้ ในปี [[ค.ศ. 1872]] [[คาร์ล ไวเออร์ชตรัสส์]] (Karl Weierstrass) ได้ยกตัวอย่างของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] ที่มีคุณสมบัติ "everywhere continuous but nowhere differentiable" คือ มีความต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่สามารถหาค่า[[อนุพันธ์]]ได้ ต่อมาในปี [[ค.ศ. 1904]] [[เฮลเก ฟอน ค็อค]] (Helge von Koch) ได้ยกตัวอย่างทางเรขาคณิต ซึ่งได้รับการเรียกขานในปัจจุบันนี้ว่า "[[เกล็ดหิมะค็อค]]" (Koch snowflake) ต่อมาในปี [[ค.ศ. 1938]] [[พอล ปีแอร์ ลาวี]] (Paul Pierre Lévy) ได้ทำการศึกษา รูปร่างของ กราฟ (curve และ surface) ซึ่งมีคุณสมบัติที่ส่วนประกอบย่อย มีความเสมือนกับโครงสร้างโดยรวมของมัน คือ "Lévy C curve" และ "Lévy dragon curve"
 
[[เกออร์ก คันทอร์]] (Georg Cantor) ก็ได้ยกตัวอย่างของ เซตย่อยของจำนวนจริง ซึ่งมีคุณสมบัติแฟร็กทัลนี้ เป็นที่รู้จักกันในชื่อ [[เซตคันทอร์]] หรือ [[ฝุ่นคันทอร์]] จากการศึกษาเซตคันทอร์นี้ นักคณิตศาสตร์ เช่น Constantin Carathéodory และ Felix Hausdorff ได้ขยายความแนวคิดเรื่อง มิติ (dimension) จากเดิมที่เป็นจำนวนเต็ม ให้ครอบคลุมถึงมิติที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนั้น นักคณิตศาสตร์อีกหลายคน ในช่วงปลาย[[คริสต์ศตวรรษที่ 19]] ถึงต้น[[คริสต์ศตวรรษที่ 20]] เช่น [[อองรี ปวงกาเร]], [[เฟลิกซ์ คลิน]] (Felix Klein), [[ปิแอร์ ฟาตู]] (Pierre Fatou) และ [[กาสตง จูเลีย]] (Gaston Julia) ได้ศึกษา[[ฟังก์ชันวนซ้ำ]] (Iterated function) ซึ่งมีความเกี่ยวพันอย่างใกล้ชิดกับ คุณสมบัติ[[ความคล้ายตนเอง]] (self-similarity) แต่บุคคลเหล่านั้นก็ไม่ได้เห็นถึงความสวยงามของภาพจาก itereated functions ที่เราได้เห็นกัน เนื่องจากการแสดงผลที่ต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์กราฟิก ซึ่งพัฒนาขึ้นในภายหลัง
 
ในปี [[ค.ศ. 1960]] [[เบอนัว มานดัลบรอม็องแดลโบรต]] ได้ทำการศึกษาถึงคุณสมบัติความคล้ายตนเอง นี้ และตีพิมพ์บทความชื่อ ''How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension.'' แมนดัลบรอ ได้เห็นถึงความสัมพันธ์ของผลงานในเรื่องต่าง ๆ ในอดีต ซึ่งดูราวกับจะเป็นคนละเรื่องไม่มีความสัมพันธ์กัน เขาได้รวบรวมแนวความคิด และบัญญัติคำว่า แฟร็กทัล ขึ้น เพื่อใช้ระบุถึงวัตถุที่มีคุณสมบัติความคล้ายตนเอง
 
== คำจำกัดความ ==
[[ไฟล์:Julia set (highres 01).jpg|thumb|เซตจูเลีย]]
แฟร็กทัล นั้นนอกจากเป็นวัตถุที่มี [[ความคล้ายตนเอง]] แล้วยังมีอีกคุณสมบัติหนึ่งคือ มี[[มิติ]]<ref>มิติ นั้นมีหลายนิยาม ขึ้นกับ[[ทฤษฎีการวัด|การวัด]] (measure) ที่ใช้ เช่น [[มิติเฮาส์ดอร์ฟ]] (Hausdorff dimension), box-counting (หรือ Minkowski) dimension, packing dimension, และอื่น ๆ </ref>[[มิติเฮาส์ดอร์ฟ|เฮาส์ดอร์ฟ]] (Hausdorff) ไม่เป็นจำนวนเต็ม (นิยามโดย เบอนัว มานดัลบรอม็องแดลโบรต ไว้ว่า ''A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.'') แต่คำจำกัดความนี้ดูเหมือนจะมีปัญหาอยู่มาก เนื่องจาก ปรากฏว่ามีวัตถุที่มีรูปร่างเป็นแฟร็กทัล แต่ไม่ได้เป็นไปตามคุณสมบัติมิตินี้
 
คำจำกัดความของสิ่งที่เราเรียกว่า แฟร็กทัล นั้นจะค่อนข้างกำกวม ไม่ชัดเจนเนื่องจาก
บรรทัด 33:
และ [[เส้นโค้งมังกร]] เป็นต้น แฟร็กทัลประเภทนี้มีคุณสมบัติคล้ายตนเองอย่างสมบูรณ์ (exact self-similarity)
 
แฟร็กทัลอีกจำนวนหนึ่งมีที่มาจากการศึกษา[[ทฤษฎีความอลวน]] เรียกว่า '''escape-time fractal''' ตัวอย่างเช่น [[เซตจูเลีย]], [[เซตมานดัลบรอม็องแดลโบรต]], [[แฟร็กทัล Burning Ship]] และ [[แฟร็กทัลไลยาปูนอฟ]] (Lyapunov) แฟร็กทัลสร้างจากวนซ้ำสมการ <math>f_c(z)</math> ไปเรื่อย ๆ หรือเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือ <math>f_c(f_c(f_c(...)))</math> และสร้างกราฟของค่าพารามิเตอร์ <math>c</math> หรือค่าเริ่มต้นของ <math>z</math> ที่ให้ผลลัพธ์ที่อลวน แฟร็กทัลเหล่านี้มักมีคุณสมบัติคล้ายตนเองที่ไม่สมบูรณ์ กล่าวคือ เมื่อขยายแฟร็กทัลดูส่วนที่เล็กลงจะพบว่ามีรูปร่างคล้ายแต่ไม่เหมือนรูปร่างของเดิมซะทีเดียว (quasi-self-similarity)
 
[[ไฟล์:Animated fractal mountain.gif|left|thumb|200px|แฟร็กทัลที่จำลองแบบผิวหน้าของภูเขา สร้างโดยการสุ่ม]]แฟร็กทัลประเภทสุดท้าย สร้างโดยกระบวนการ[[สโตคาสติก]] หรือ การสุ่ม เช่น [[การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน]] [[ต้นไม้บราวเนียน]] เป็นต้น แฟร็กทัลลักษณะนี้ เฉพาะค่าทางสถิติของแฟร็กทัลที่สเกลต่าง ๆ เท่านั้นที่มีลักษณะเหมือนกัน (statistical self-similarity)
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/แฟร็กทัล"