ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สมการชเรอดิงเงอร์"

ไม่มีคำอธิบายอย่างย่อ
ไม่มีความย่อการแก้ไข
ไม่มีความย่อการแก้ไข
ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น [[ศักย์แบบขั้นบันได]] [[กำแพงศักย์]] [[บ่อศักย์แบบอนันต์]] [[บ่อศักย์แบบลึกจำกัด]] เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทาง[[กลศาสตร์ดั้งเดิม]]แก้ปัญหาอย่างชัดเจน
 
=== สมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมไฮโดรเจน ===
ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ ออร์บิทัลของ[[อะตอมคล้ายไฮโดรเจน]]เป็น[[ไอเกนฟังก์ชัน]]ของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน 1 ตัว ในแกน ''z'' (''L''<sub>z</sub>) ออบิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน(hydrogen-like atom) สามารถหาได้จากเลขควอนตัมหลัก ''n'' เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม ''l'' และเลขควอนตัมแม่เหล็ก m พลังงานเฉพาะของอะตอมมีค่าขึ้นกับค่า ''n'' เท่านั้น เราจึงต้องบวกเลขควอนตัมการหมุน ''m<sub>s</sub>'' = ±½ สำหรับในออร์บิทัลที่มีระดับพลังงานเท่ากันของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน ค่า ''n'', ''l'', ''m'' and ''s'' จะมีค่าเฉพาะที่เปลี่ยนไปตามระดับพลังงาน
 
การวิเคราะห์สมการชโรดิงเจอร์ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวนั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากมีแรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนเข้ามาเกี่ยวข้องกับการคำนวณ เราจึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) มาช่วยคำนวณ เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นหรือสมบัติทางควอนตัมอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงใช้แบบจำลองของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนในการแก้ปัญหา
 
จากกฎของคูลอมบ์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นดังสมการ
 
:<math>V(r) = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math>
 
เมื่อ
* ε<sub>0</sub> คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ,
* ''Z'' คือ เลขอะตอม (จำนวนโปรตอนในนิวเคลียส),
* ''e'' คือ ประจุของอิเล็กตรอน,
* ''r'' คือ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส
 
ดังนั้นจะได้สมการคลื่น (ในพิกัดทรงกลม) เป็น
 
:<math>\psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)\,</math>
 
โดย <math>Y_{lm}</math> คือ [[ฮาร์มอนิกส์ทรงกลม]]
 
จะได้สมการชโรดิงเจอร์
 
:<math>
\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \left({1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right) + V(r)R(r) \right]= E R(r),
</math>
 
โดย <math>\mu</math> คือ [[มวลลดทอน]]
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
17

การแก้ไข