ผลต่างระหว่างรุ่นของ "อนุพันธ์"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
นนนน
ป้ายระบุ: ถูกแทน blanking การแก้ไขแบบเห็นภาพ แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่
Ajraddatz (คุย | ส่วนร่วม)
ย้อนการแก้ไขของ 171.97.137.177 (พูดคุย) ไปยังรุ่นก่อนหน้าโดย B20180
ป้ายระบุ: ย้อนรวดเดียว
บรรทัด 1:
{{กึ่งล็อก|small=yes}}
{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
{{ความหมายอื่น}}
[[ไฟล์:Tangent to a curve.svg|thumb|[[กราฟของฟังก์ชัน]]แสดงด้วยเส้นสีดำ และ[[เส้นสัมผัส]]แสดงด้วยเส้นสีแดง [[ความชัน]]ของเส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดสีแดง]]
{{แคลคูลัส |อนุพันธ์}}
 
ใน[[คณิตศาสตร์|วิชาคณิตศาสตร์]] '''อนุพันธ์'''ของ[[ฟังก์ชันของตัวแปรจริง]]เป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของ[[แคลคูลัส]] ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ [[ความเร็ว]]ของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป
 
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือ[[ความชัน]]ของ[[เส้นสัมผัส]]ที่สัมผัสกับ[[กราฟของฟังก์ชัน]]ที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือ[[การประมาณเชิงเส้น]]ของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ
 
กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า '''การหาอนุพันธ์''' (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า ''[[ปฏิยานุพันธ์|การหาปฏิยานุพันธ์]]'' (antidifferentiation) [[ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส]]กล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับ[[ปริพันธ์|การหาปริพันธ์]] (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}}
 
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของ[[แคลคูลัส]] (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือ[[ปฏิยานุพันธ์]] ซึ่งคือ[[ตัวผกผัน]]ของอนุพันธ์)
 
== การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์ ==
''การหาอนุพันธ์'' เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} ของตัวแปร {{math|''x''}} คืออัตราที่ค่า {{math|''y''}} ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร {{math|''x''}} เรียกว่า ''อนุพันธ์''ของ {{math|''f''}} เทียบกับ {{math|''x''}} ถ้า {{math|''x''}} และ {{math|''y''}} เป็น[[จำนวนจริง]] และถ้า[[กราฟของฟังก์ชัน]] {{math|''f''}} ลงจุดเทียบกับ {{math|''x''}} อนุพันธ์ก็คือ[[ความชัน]]ของเส้นกราฟในแต่ละจุด
 
[[ไฟล์:Wiki slope in 2d.svg|right|thumb|250px|ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น: <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>]]
กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของ[[ฟังก์ชันคงตัว]] คือเมื่อ {{math|''y''}} เป็น[[ฟังก์ชันเชิงเส้น]]ของ {{math|''x''}} ซึ่งหมายถึงกราฟของ {{math|''y''}} จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''m'' ''x'' + ''b''}} สำหรับจำนวนจริง {{math|''m''}} และ {{math|''b''}} และความชัน {{math|''m''}} ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} ดังสมการ
:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
เมื่อสัญลักษณ์ {{math|Δ}} ([[เดลตา]]) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
:<math>y+\Delta y=f\left( x+\Delta x\right)
=m\left( x+\Delta x\right) +b
=mx +m\,\Delta x +b
= y + m\,\Delta x </math>
เพราะฉะนั้น จะได้
:<math>y+\Delta y=y+m\,\Delta x </math>
ทำให้ได้
:<math> \Delta y=m\,\Delta x </math>
 
ซึ่ง {{math|''m''}} เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน {{math|''f''}} ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น {{math|''x''}} ใด ๆ
 
{{multiple image
| align = right
| direction = vertical
| width = 250
| header = อัตราการเปลี่ยนแปลงที่หาจากค่าลิมิต
| image1 = Tangent-calculus.svg
| caption1 = '''รูปที่ 1.''' [[เส้นสัมผัส]]ที่ (''x'', ''f''(''x''))
| image2 = Secant-calculus.svg
| caption2 = '''รูปที่ 2.''' [[เส้นตัด]]ของส่วนโค้ง ''y''= ''f''(''x'') กำหนดโดยจุด (''x'', ''f''(''x'')) และ (''x''+''h'', ''f''(''x''+''h''))
| image3 = Lim-secant.svg
| caption3 = '''รูปที่ 3.''' เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด
| image4 = Derivative GIF.gif
| caption4 = '''รูปที่ 4.''' ภาพเคลื่อนไหว: เส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่หาจากลิมิตของเส้นตัด
}}
 
แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจาก[[ลิมิตของฟังก์ชัน|ค่าลิมิต]]ของ[[:en:difference quotient|อัตราส่วนของผลต่าง]] {{math|Δ''y'' / Δ''x''}} เมื่อ {{math|Δ''x''}} เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก
 
=== สัญกรณ์ ===
{{บทความหลัก|สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์}}
มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจาก[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ|ไลบ์นิซ]] และอีกแบบหนึ่งมาจาก[[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์|ลากรางจ์]]
 
ใน[[สัญกรณ์ของไลบ์นิซ]] การเปลี่ยนแปลงที่[[กณิกนันต์|น้อยมาก]]ของ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''dx''}} และอนุพันธ์ของ {{math|''y''}} เทียบกับ {{math|''x''}} เขียนได้ดังนี้
: <math> \frac{dy}{dx} \,\!</math>
แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ ''y'' เทียบกับ ''x''" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)
 
ส่วน[[สัญกรณ์ของลากรางจ์]] อนุพันธ์ของฟังก์ชัน {{math|''f''(''x'')}} เทียบกับ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''f{{'}}''(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ {{math|''f<sub>x</sub>''{{'}}(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")
 
=== อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน ===
[[ไฟล์:Tangent animation.gif|thumb|250px|เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ <math>\Delta x \to 0</math>]]
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ''f'' ที่ ''x'' ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ ''f'' ที่ ''x'' เราไม่สามารถหาความชันของ[[เส้นสัมผัส]]จากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (''x'', ''f'' (''x'')) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วย[[เส้นตัด]] (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหา[[ลิมิต (คณิตศาสตร์)|ลิมิต]]ของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส
 
เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ ''h'' เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ''h'' จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน ''x'' ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (''x'',''f (x) '') และ (''x+h'',''f (x+h) '') คือ
:<math>{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ [[อัตราส่วนเชิงผลต่าง]]ของ[[ไอแซก นิวตัน|นิวตัน]] (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ ''f'' ที่ ''x'' คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:
:<math>f' (x) =\lim_{h\to 0}{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
{{โครง-ส่วน}}
 
=== ตัวอย่าง ===
[[ไฟล์:Parabola2.svg|thumb|ฟังก์ชันกำลังสอง]]
ฟังก์ชันกำลังสอง {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} หาอนุพันธ์ได้ที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ {{math|''f''(3)}} เมื่อ {{math|''h''}} เข้าใกล้ศูนย์:
 
:<math>
\begin{align}
f'(3) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \\[10pt]
& = \lim_{h\to 0}\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}{(6 + h)}
\end{align}
</math>
 
นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ {{math|''6'' + ''h''}} เมื่อ {{math|''h'' ≠ 0}} และไม่นิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ {{math|''h''}} เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า {{math|6 + ''h''}} เมื่อ {{math|''h''}} มีค่าน้อยลงมาก ๆ
 
:<math> \lim_{h\to 0}{(6 + h)} = 6 + 0 = 6 </math>
 
ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด {{nowrap|(3, 9)}} คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} คือ {{math|''f''′(3) {{=}} 6}}
 
ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ {{math|''x'' {{=}} ''a''}} คือ {{math|''f''′(''a'') {{=}} 2''a''}}:
 
:<math>\begin{align}
f'(a) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a
\end{align}</math>
 
=== ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้ ===
{{โครงส่วน}}
 
=== อนุพันธ์ในรูปฟังก์ชัน ===
[[ไฟล์:Tangent function animation.gif|thumb|250px|แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์]]
{{โครงส่วน}}
 
=== อนุพันธ์อันดับสูง ===
{{โครงส่วน}}
 
=== จุดเปลี่ยนเว้า ===
{{บทความหลัก|จุดเปลี่ยนเว้า}}
จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า ''จุดเปลี่ยนเว้า''<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจาก[[ฟังก์ชันเว้า]]ไปเป็น[[ฟังก์ชันนูน]]หรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า
 
== รายละเอียดสัญกรณ์ ==
{{บทความหลัก|สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์}}
 
=== สัญกรณ์ของไลบ์นิซ ===
{{บทความหลัก|สัญกรณ์ของไลบ์นิซ}}
 
สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดย[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ]] ในปี ค.ศ. 1675<ref>Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)</ref> สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง[[ตัวแปรต้นและตัวแปรตาม]] อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้
 
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d}{dx}f(x)</math>
 
อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์
 
: <math>\frac{d^ny}{dx^n},
\quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),
\;\;\mathrm{or}\;\;
\frac{d^n}{dx^n}f(x)</math>
 
สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ ''n'' ของ {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} (เทียบกับ ''x'') ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)</math>
 
ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ ''y'' ที่จุด {{nowrap|1=''x'' = ''a''}} ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:
 
: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a)</math>
 
สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่อง[[อนุพันธ์ย่อย|การหาอนุพันธ์ย่อย]] และยังทำให้ง่ายต่อการจำ[[กฎลูกโซ่]]อีกด้วย:{{#tag:ref|In the formulation of calculus in terms of limits, the ''du'' symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to ''du'' by itself, but only as part of the symbol ''du''/''dx''. Others define ''dx'' as an independent variable, and define ''du'' by {{nowrap|1=''du'' = ''dx''·''f''′(''x'')}}. In [[non-standard analysis]] ''du'' is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the [[exterior derivative]] of a function ''u''. See [[differential (infinitesimal)]] for further information.|group=Note}}
 
: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>
 
=== สัญกรณ์ของลากรางจ์ ===
ในบางครั้งเราก็กล่าวถึง ''สัญกรณ์ไพรม์''<ref>{{cite web|title=The Notation of Differentiation|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|accessdate=24 October 2012|year=1998}}</ref> หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจาก[[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์]] โดยใช้[[ไพรม์|เครื่องหมายไพรม์]] กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ''f''(''x'') เขียนได้ในรูป ''f''′(''x'') หรือ ''f''′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้
:<math>(f')'=f''\,</math> &emsp; และ &emsp; <math>(f'')'=f'''</math>
เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็น[[ตัวยกและตัวห้อย|ตัวยก]] หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:
:<math>f^{\mathrm{iv}}\,\!</math> &emsp; หรือ &emsp; <math>f^{(4)}</math>
สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ ''f''<sup> (''n'')</sup> สำหรับอนุพันธ์อันดับ ''n'' ของ ''f'' สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก
 
=== สัญกรณ์ของนิวตัน ===
[[สัญกรณ์ของนิวตัน]]สำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''t'')}} แล้ว
:<math>\dot{y}</math> &emsp; และ &emsp; <math>\ddot{y}</math>
หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ ''y'' เทียบกับ ''t'' ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับ[[ความยาวส่วนโค้ง]] ซึ่งใช้กันทั่วไปใน[[ฟิสิกส์]] [[สมการเชิงอนุพันธ์]] และ[[เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์]]<ref>{{Cite book|title=Partial Differential Equations|last=Evans|first=Lawrence|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=0-8218-0772-2|location=|pages=63}}</ref><ref>{{Cite book|title=Differential Geometry|last=Kreyszig|first=Erwin|publisher=Dover|year=1991|isbn=0-486-66721-9|location=New York|pages=1}}</ref> โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น
 
=== สัญกรณ์ของออยเลอร์ ===
สัญกรณ์ของ[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์|ออยเลอร์]]จะใช้[[ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์]] ''D'' ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน ''f'' เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ''Df'' ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป ''D''<sup>2</sup>''f'' และอนุพันธ์อันดับ ''n'' เขียนได้ในรูป ''D''<sup>''n''</sup>''f''
 
ถ้า {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} เป็นตัวแปรตาม แล้ว ''x'' จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ ''D'' เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น ''x'' ดังข้างล่าง
:<math>D_x y\,</math> &emsp; or &emsp; <math>D_x f(x)\,</math>,
แต่ตัวห้อย ''x'' มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว
 
สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้[[สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น]]
 
== กฎการคำนวณ ==
{{บทความหลัก|กฎการหาอนุพันธ์}}
=== กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ===
* ''[[แคลคูลัสกับพหุนาม|การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง]]'': ถ้า
 
:<math> f(x) = x^r</math>
 
เมื่อ ''r'' เป็น[[จำนวนจริง]]ใด ๆ แล้ว
 
:<math> f'(x) = rx^{r-1}</math>
 
เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า <math>f(x) = x^{1/4}</math> แล้ว
 
:<math>f'(x) = (1/4)x^{-3/4}</math>
 
และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า ''x'' ที่เป็นบวก ไม่ใช่ {{nowrap|1=''x'' = 0}} เมื่อ {{nowrap|1=''r'' = 0}} กฎนี้จะให้ค่า ''f''′(''x'') เป็นศูนย์สำหรับ {{nowrap|''x'' &ne; 0}} ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่
 
* ''กฎค่าคงที่'': ถ้า ''f''(''x'') คือค่าคงที่ แล้ว
:<math>f' = 0</math>
 
* ''ฟังก์ชัน[[ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง|เอกซ์โพเนนเชียล]]และ[[ลอการิทึม]]'':
:<math> \frac{d}{dx}e^x = e^x</math>
 
:<math> \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a)</math>
 
:<math> \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0</math>
 
:<math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}</math>
 
* ''[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]'':
:<math> \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)</math>
:<math> \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)</math>
:<math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)</math>
จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้
:<math>\frac{d}{dx}\csc (x) = -\csc x\cot x</math>
:<math>\frac{d}{dx}\sec (x) = \sec x \tan x</math>
:<math>\frac{d}{dx}\cot (x) = -\csc^2 x</math>
 
* ''[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน]]'':
:<math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1</math>
:<math> \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1</math>
:<math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}</math>
 
=== กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน ===
ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้
 
* ''[[Linearity of differentiation|กฎผลรวม]]'':
:<math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด ''f'' และ ''g'' และจำนวนจริงทั้งหมด ''<math>\alpha</math>'' และ ''<math>\beta</math>''
* ''[[กฎผลคูณ]]'':
:<math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด ''f'' และ ''g'' ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า <math>(\alpha f)' = \alpha f'</math> เมื่อไรก็ตามที่ <math>\alpha</math> เป็นค่าคงที่ เพราะว่า <math>\alpha' f = 0 \cdot f = 0</math> จากกฎค่าคงที่
* ''[[กฎผลหาร]]'':
:<math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด ''f'' และ ''g'' ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ {{nowrap|''g'' ≠ 0}}.
* ''[[กฎลูกโซ่]]'': ถ้า <math>f(x) = h(g(x))</math> แล้ว
:<math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \,</math>
 
=== ตัวอย่างการคำนวณ ===
อนุพันธ์ของ
: <math>f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,</math>
 
คือ
 
: <math>
\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln(x) \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
&= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x
\end{align}
</math>
 
ในพจน์ที่สองของ {{math|''f''}} คำนวณโดยใช้[[กฎลูกโซ่]] และพจน์ที่สามใช้[[กฎผลคูณ]] นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, sin(''x''), ln(''x'') และ {{nowrap|1=exp(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}} รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย
 
== ทั่วไป ==
{{โครงส่วน}}
 
== ดูเพิ่ม ==
{{สถานีย่อย2|คณิตศาสตร์}}
* [[กณิกนันต์]]
* [[คณิตวิเคราะห์]]
* [[ปฏิยานุพันธ์]]
* [[ปริพันธ์]]
* [[ตัวผกผันการคูณ]]
 
== หมายเหตุ==
{{reflist|group=Note}}
 
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง|2}}
 
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
*{{springer|title=Derivative|id=p/d031260}}
*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]
*{{MathWorld |title=Derivative |id=Derivative}}
*[http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].
 
[[หมวดหมู่:แคลคูลัส]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่]]
[[หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์]]
{{โครงคณิตศาสตร์}}