จัดรูปแบบ +เก็บกวาดด้วยสคริปต์จัดให้
ล robot Adding: vi:Định lý Wilson |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) จัดรูปแบบ +เก็บกวาดด้วยสคริปต์จัดให้ |
||
บรรทัด 1:
ใน[[คณิตศาสตร์]], '''ทฤษฎีบทของวิลสัน''' (Wilson's Theorem) กล่าวว่า สำหรับ[[จำนวนเฉพาะ]] ''p'' > 1,
:<math>(p-1) !\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p) </math>
(ดูเพิ่มเติมใน [[แฟกทอเรียล]] และ [[เลขคณิตมอดุลาร์]] สำหรับความหมายของสัญกรณ์)
บรรทัด 9:
== การพิสูจน์ ==
ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต ''G'' = ('''Z'''/''p'''''Z''') <sup>×</sup> = {1, 2, ... ''p'' − 1} จะอยู่ในรูป[[กรุป]]ภายใต้[[เลขคณิตมอดุลาร์|การคูณมอดุโล ''p'']]ได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก ''i'' ใน ''G'' จะมี[[สมาชิกผกผัน]] ''j'' ใน ''G'' ที่ทำให้ ''ij'' ≡ 1 (mod ''p'') ได้อย่างเดียว. ถ้า ''i'' ≡ ''j'' (mod ''p'') แล้วจะทำให้ ''i''<sup>2</sup> − 1 = (''i'' + 1) (''i'' − 1) ≡ 0 (mod ''p'') จาก ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ ''i'' ≡ 1 หรือ −1 (mod ''p'') , นั่นคือ ''i'' = 1 หรือ ''i'' = ''p'' − 1.
หรือกล่าวได้ว่า 1 และ ''p'' − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน ''G'' จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน ''G'' และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า ''p'' = 11 จะได้
:<math>10! = 1(10) (2 \cdot 6) (3 \cdot 4) (5 \cdot 9) (7 \cdot 8) \ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ 11) </math>
สำหรับบทกลับ ให้ ''n'' เป็น[[จำนวนประกอบ]] ที่ทำให้ (''n'' − 1) ! ≡ −1 (mod ''p'') , ดังนั้น ''n'' จะมี[[ตัวหาร]]แท้ ''d'' ซึ่ง 1 < ''d'' < ''n'' ดังนั้น ''d'' หาร (''n'' − 1) ! ลงตัว แต่ ''d'' หาร (''n'' − 1) ! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น ''d'' หาร 1 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง
== การประยุกต์ ==
บรรทัด 22:
บทกลับของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนประกอบ n > 5
:(n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว
เหลือกรณีที่ n = 4 ซึ่ง 3! สมภาคกับ 2 โมดุโล 4
{{โครงคณิตศาสตร์}}▼
[[หมวดหมู่:เลขคณิตมอดุลาร์]]
[[หมวดหมู่:
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]
▲{{โครงคณิตศาสตร์}}
[[bg:Теорема на Уилсън]]
| |||