ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีบทของวิลสัน"

จัดรูปแบบ +เก็บกวาดด้วยสคริปต์จัดให้
(robot Adding: vi:Định lý Wilson)
(จัดรูปแบบ +เก็บกวาดด้วยสคริปต์จัดให้)
ใน[[คณิตศาสตร์]], '''ทฤษฎีบทของวิลสัน''' (Wilson's Theorem) กล่าวว่า สำหรับ[[จำนวนเฉพาะ]] ''p'' > 1,
 
:<math>(p-1) !\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p) </math>
 
(ดูเพิ่มเติมใน [[แฟกทอเรียล]] และ [[เลขคณิตมอดุลาร์]] สำหรับความหมายของสัญกรณ์)
== การพิสูจน์ ==
 
ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต ''G'' = ('''Z'''/''p'''''Z''') <sup>×</sup> = {1, 2, ... ''p'' − 1} จะอยู่ในรูป[[กรุป]]ภายใต้[[เลขคณิตมอดุลาร์|การคูณมอดุโล ''p'']]ได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก ''i'' ใน ''G'' จะมี[[สมาชิกผกผัน]] ''j'' ใน ''G'' ที่ทำให้ ''ij'' &equiv; 1 (mod ''p'') ได้อย่างเดียว. ถ้า ''i'' &equiv; ''j'' (mod ''p'') แล้วจะทำให้ ''i''<sup>2</sup> − 1 = (''i'' + 1) (''i'' − 1) &equiv; 0 (mod ''p'') จาก ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ ''i'' &equiv; 1 หรือ −1 (mod ''p'') , นั่นคือ ''i'' = 1 หรือ ''i'' = ''p'' − 1.
 
หรือกล่าวได้ว่า 1 และ ''p'' − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน ''G'' จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน ''G'' และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า ''p'' = 11 จะได้
 
:<math>10! = 1(10) (2 \cdot 6) (3 \cdot 4) (5 \cdot 9) (7 \cdot 8) \ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ 11) </math>
 
สำหรับบทกลับ ให้ ''n'' เป็น[[จำนวนประกอบ]] ที่ทำให้ (''n'' − 1) ! &equiv; −1 (mod ''p'') , ดังนั้น ''n'' จะมี[[ตัวหาร]]แท้ ''d'' ซึ่ง 1 < ''d'' < ''n'' ดังนั้น ''d'' หาร (''n'' − 1) ! ลงตัว แต่ ''d'' หาร (''n'' − 1) ! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น ''d'' หาร 1 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง
 
== การประยุกต์ ==
บทกลับของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนประกอบ n > 5
 
:(n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว
 
เหลือกรณีที่ n = 4 ซึ่ง 3! สมภาคกับ 2 โมดุโล 4
{{โครงคณิตศาสตร์}}
 
[[หมวดหมู่:เลขคณิตมอดุลาร์]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]
{{โครงคณิตศาสตร์}}
 
[[bg:Теорема на Уилсън]]
130,935

การแก้ไข