ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์"

แก้คำผิด
(แทนที่ ‘เห้น’ ด้วย ‘เห็น’)
(แก้คำผิด)
{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์''' ({{lang-en|Mathematical Proof}}) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย <ref name="nutsandbolts">Cupillari, Antonella. ''The Nuts and Bolts of Proofs''. Academic Press, 2001. Page 3.</ref><ref>Gossett, Eric. ''Discrete Mathematics with Proof''. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7</ref><ref>Gossett, Eric. ''Discrete Mathematics with Proof''. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7</ref> เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (empirical argument) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูตรพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า '''ข้อความคาดการณ์''' <ref>คณิตศาสตร์๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗</ref> ({{lang-en|conjecture}}) เช่น [[ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค]] (Goldbach's conjecture) และ [[สมมุติฐานของรีมันน์]] (Riemann hypothesis) เป็นต้น
 
การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ [[ภาษาธรรมชาติ]] (natural language) ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้ให้เกิดความกำกวม
 
== วิธีการพิสูจน์ ==
การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า<ref>Cupillari, page 20.</ref> การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของ[[จำนวนเต็ม]][[ภาวะคู่หรือคี่ (คณิตศาสตร์)|คู่]]สองจำนวนเป็นจำนวนคู่
 
:พิจารณรจำนวนเต็มพิจารณาจำนวนเต็ม ''x'' และ ''y'' เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน ''x''&nbsp;=&nbsp;2''a'' และ ''y''&nbsp;=&nbsp;2''b'' ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม ''a'' และ ''b'' จะได้ ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;= 2''a''&nbsp;+&nbsp;2''b''&nbsp;= 2 (''a''+''b'') ดังนั้น ชัดเจนว่า ''x''+''y'' มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใดๆใด ๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ
 
การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ [[สมบัติของการปิดของจำนวนเต็ม]]ภายใต้การบวกและการคูณ และ [[สมบัติการแจกแจง]]
 
=== การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ===
การพิสูน์พิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับ[[การให้เหตุผลแบบอุปนัย]]เชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์ "ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่า''ถ้า''กรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริง''แล้ว''กรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก "ขั้นฐาน" ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่นๆอื่น ๆ เป็น[[เซตอนันต์|อนันต์]]กรณี<ref>Cupillari, page 46.</ref> เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่นๆอื่น ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ [[:en:infinite descent|infinite descent]] Infinite descent สามารถใช้พิสูจน์[[ความเป็นอตรรกยะของ√ของ √2]]
 
การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำหนวนจำนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน:<ref>[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers]</ref>
ให้ {{math|1='''N''' = {1,2,3,4,...}}} เป็นเซตของจำนวนนับ และ {{math|''P'' (''n'')}} เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ {{math|''n''}} เป็นสมาชิกของ {{math|'''N'''}} ที่
* ''' (i) ''' {{math|''P'' (1)}} เป็นจริง กล่าวคือ {{math|''P'' (''n'')}} เป็นจริงสำหรับ {{math|1=''n'' = 1}}
 
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
{{Reflist}}
 
 
[[หมวดหมู่:การพิสูจน์]]
22,657

การแก้ไข