ผลต่างระหว่างรุ่นของ "อนุกรมฟูรีเย"

ไม่มีคำอธิบายอย่างย่อ
ไม่มีความย่อการแก้ไข
ไม่มีความย่อการแก้ไข
{{ต้องการอ้างอิง}}
'''อนุกรมฟูเรียร์รีเย''' ตั้งชื่อตาม [[โฌแซ็ฟ ฟูรีเย]] อนุกรมฟูเรียร์รีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูเรียร์รีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป
 
:<math>x\mapsto e^{inx}</math>
ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ''e''<sup>''i x''</sup> หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์
 
''ดูประวัติที่บทความหลัก [[การแปลงฟูรีเย|การแปลงฟูเรียร์]]''
 
== นิยาม ==
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width=100%
|- style="background-color: gainsboro"
! อนุกรมฟูเรียร์รีเย
! สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูเรียร์รีเย
|-
|align = center|<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.</math>
 
== ตัวอย่าง ==
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูเรียร์รีเย ดังรูป
::[[ไฟล์:Fxeqx.png|450px]]
 
สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูเรียร์รีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(''nx'') เป็น[[ฟังก์ชันคู่]] ในขณะที่ ''f'' เป็น[[ฟังก์ชันคี่]]เช่นเดียวกับ sin(''nx'')
 
:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,</math>
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math>
 
สังเกตว่า ''a''<sub>0</sub> และ ''a<sub>n</sub>'' มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก ''x'' และ ''x'' cos(''nx'') เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูเรียร์ของรีเยของ ''f''(''x'') = ''x'' คือ:
 
:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) </math>
::<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math>
 
สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูเรียร์รีเย ดู ค่าของ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]] ที่ ''s'' = 2
 
[[ไฟล์:Periodic identity function.gif|left|thumb|400px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ]]
157,356

การแก้ไข