ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
→‎นิยามอย่างเป็นรูปนัย: ข้อมูลที่เปลี่ยนแปลงได้จากอ.สุทิน
Potapt (คุย | ส่วนร่วม)
ไม่มีความย่อการแก้ไข
บรรทัด 2:
{{ความหมายอื่น|||ฟังก์ชัน}}
{{ความหมายอื่น|สำหรับ=วงดนตรีเกาหลี |ดูที่=เอฟ (เอกซ์) |เปลี่ยนทาง=f(x)}}
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''ฟังก์ชัน''' คือ ''ความสัมพันธ์'' จาก[[เซต]]หนึ่งที่เรียกว่า[[โดเมน]] ไปยังอีกเซตหนึ่งที่เรียกว่า[[โคโดเมน]] (บางครั้งคำว่า[[เรนจ์]]อาจถูกใช้แทน แต่เรนจ์นั้นมีความหมายอื่นด้วย "โคโดเมน" จึงเป็นที่นิยมมากกว่า เพราะไม่กำกวม) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และ[[วิทยาศาสตร์]]เชิงปริมาณ(อ.สุทินบอกมา)
 
== แนวคิด ==
บรรทัด 10:
* ก้อนหินก้อนหนึ่งปล่อยลงมาจากชั้นต่างๆของตึกสูง ถ้าปล่อยจากชั้นที่สอง จะใช้เวลา 2 วินาที และถ้าปล่อยจากชั้นที่แปด จะใช้เวลา (เพียง) 4 วินาที ในที่นี้ สิ่งนำเข้าคือชั้น และผลลัพธ์คือระยะเวลาเป็นวินาที ''ฟังก์ชัน''นี้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง เวลาที่ก้อนหินใช้ตกถึงพื้นกับชั้นที่มันถูกปล่อยลงมา (ดู [[ความเร่ง]])
 
"กฎ" ที่นิยามฟังก์ชันอาจเป็น [[สูตร]], [[ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์)]] หรือเป็นแค่ตารางที่ลำดับผลลัพธ์กับสิ่งที่นำเข้า ลักษณะเฉพาะที่สำคัญของฟังก์ชันคือมันจะมีผลลัพธ์เหมือนเดิมตลอดเมื่อให้สิ่งนำเข้าเหมือนเดิม ลักษณะนี้ทำให้เราเปรียบเทียบฟังก์ชันกับ "[[เครื่องกล]]" หรือ "[[กล่องดำ]]" ที่จะเปลี่ยนสิ่งนำเข้าไปเป็นผลลัพธ์ที่ตายตัว เรามักจะเรียกสิ่งนำเข้าว่า ''อาร์กิวเมนต์ (argument) '' และเรียกผลลัพธ์ว่า ''ค่า (value) '' ของฟังก์ชัน (อ.สุทินบอกมา)
 
ชนิดของฟังก์ชันธรรมดาเกิดจากที่ทั้งอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชันเป็นตัวเลขทั้งคู่ ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันมักจะเขียนในรูปสูตร และจะได้ค่าของฟังก์ชันมาทันทีเพียงแทนที่อาร์กิวเมนต์ลงในสูตร(อ.สุทินบอกมา) เช่น
 
:<math>f (x) =x^2</math>
บรรทัด 26:
ในวิทยาศาสตร์ เรามักจะต้องเผชิญหน้ากับฟังก์ชันที่ไม่ได้กำหนดขึ้นจากสูตร เช่นอุณหภูมิบนพื้นผิวโลกในเวลาใดเวลาหนึ่ง นี่เป็นฟังก์ชันที่มีสถานที่และเวลาเป็นอาร์กิวเมนต์ และให้ผลลัพธ์เป็นอุณหภูมิของสถานที่และเวลานั้นๆ
 
เราได้เห็นแล้วว่าแนวคิดของฟังก์ชันไม่ได้จำกัดอยู่แค่การคำนวณด้วยตัวเลขเท่านั้น และไม่ได้จำกัดอยู่แค่การคำนวณด้วย แนวคิดของคณิตศาสตร์เกี่ยวกับฟังก์ชัน เป็นแนวคิดโดยทั่วไปและไม่ได้จำกัดอยู่แค่สถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขเท่านั้น แน่นอนว่าฟังก์ชันเชื่อมโยง "โดเมน" (เซตของสิ่งนำเข้า) เข้ากับ "โคโดเมน" (เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้) ดังนั้นสมาชิกแต่ละตัวของโดเมนจะจับคู่กับสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของโคโดเมนเท่านั้น ฟังก์ชันนั้นนิยามเป็นความสัมพันธ์ที่แน่นอน ดังที่จะกล่าวต่อไป เป็นเหตุจากลักษณะทั่วไปนี้ แนวคิดรวบยอดของฟังก์ชันจึงเป็นพื้นฐานของทุกสาขาในคณิตศาสตร์(อ.สุทินบอกมา)
 
== ประวัติ ==
 
ในทางคณิตศาสตร์ "'''ฟังก์ชัน'''" บัญญัติขึ้นโดย [[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ|ไลบ์นิซ]] ใน [[พ.ศ. 2237]] เพื่ออธิบายปริมาณที่เกี่ยวข้องกับ[[เส้นโค้ง]] เช่น [[ความชัน]]ของเส้นโค้ง หรือ[[จุด]]บนเส้นโค้ง ฟังก์ชันที่ไลบ์นิซพิจารณานั้นในปัจจุบันเรียกว่า ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และเป็นชนิดของฟังก์ชันที่มักจะแก้ด้วยผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ สำหรับฟังก์ชันชนิดนี้ เราสามารถพูดถึง[[ลิมิต]]และ[[อนุพันธ์]] ซึ่งเป็นการ[[ทฤษฎีเซต]] พวกเขาได้พยายามนิยามวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้วย [[เซต]] [[ดีริคเลท]] และ [[โลบาเชฟสกี]] ได้ให้นิยามสมัยใหม่ของฟังก์ชันออกมาเกือบพร้อมๆกัน(อ.สุทินบอกมา)
 
ในคำนิยามนี้ ฟังก์ชันเป็นเพียงกรณีพิเศษของ[[ความสัมพันธ์]] อย่างไรก็ตาม เป็นกรณีที่มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ความแตกต่างระหว่างคำนิยามสมัยใหม่กับคำนิยามของออยเลอร์นั้นเล็กน้อยมาก
 
แนวคิดของ '''ฟังก์ชัน''' ที่เป็นกฎในการคำนวณ แทนที่เป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษนั้น อยู่ใน[[คณิตตรรกศาสตร์]] และ[[วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี]] ด้วยหลายระบบ รวมไปถึง [[แคลคูลัสแลมบ์ดา]] ทฤษฎี[[ฟังก์ชันเวียนเกิด]] และ[[เครื่องจักรทัวริง|เครื่องจักรทัวริง (อ.สุทินบอกมา)]]
 
== นิยามอย่างเป็นรูปนัย ==
ฟังก์ชัน <math>f</math> จากข้อมูลนำเข้าในเซต <math>X</math> ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต <math>Y</math> (เขียนเป็น <math>f:X\rightarrow Y</math>) คือ[[ความสัมพันธ์]]ระหว่าง <math>X</math> กับ <math>Y</math> ซึ่ง
# สำหรับทุกค่า <math>x</math> ใน <math>X</math> จะมี <math>y</math> ใน <math>Y</math> ซึ่ง <math>x f y</math> ( <math>x</math> มีความสัมพันธ์ <math>f</math> กับ <math>y</math>) นั่นคือ สำหรับค่านำเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน <math>Y</math> อย่างน้อย <math>1</math> ผลลัพธ์เสมอ(อ.สุทินบอกมา)
# ถ้า <math>x f y</math> และ <math>x f z</math> แล้ว <math>y = z</math> นั่นคือ ค่านำเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่านำเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้
 
บรรทัด 47:
เซตของฟังก์ชัน <math>f:X\rightarrow Y</math> ทุกฟังก์ชันแทนด้วย <math>Y^X</math> เรียกว่า[[ปริภูมิฟังก์ชัน]] สังเกตว่า <math>|Y^X| = |Y|^{|X|}</math> (อ้างถึง [[จำนวนเชิงการนับ]])
 
ความสัมพันธ์ระหว่าง <math>X</math> กับ <math>Y</math> ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือ'''[[ฟังก์ชันหลายค่า]]''' ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง <math>X</math> กับ <math>Y</math> ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือ'''[[ฟังก์ชันบางส่วน]]''' ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข(อ.สุทินบอกมา)
 
ดูตัวอย่างต่อไปนี้
 
[[ไฟล์:Multivalued function.svg]] สมาชิก <math>3</math> ใน <math>X</math> สัมพันธ์กับ <math>b</math> และ <math>c</math> ใน <math>Y</math> ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่''ไม่''เป็นฟังก์ชัน(อ.สุทินบอกมา)
 
[[ไฟล์:Partial function.svg]] สมาชิก 1 ใน <math>X</math> ไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใดๆเลยใน <math>Y</math> ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่''ไม่''เป็นฟังก์ชัน(อ.สุทินบอกมา)
 
[[ไฟล์:Total function.svg]] ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันจาก <math>X</math> ไปยัง <math>Y</math> เราสามารถหานิยามฟังก์ชันนี้อย่างชัดแจ้งได้เป็น <math>f=\{ (1,d) , (2,d) , (3,c) \}</math> (อ.สุทินบอกมา)หรือเป็น
:<math>f (x) =\left\{\begin{matrix} d, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3. \end{matrix}\right.</math>
 
บรรทัด 61:
''X'' ซึ่งคือเซตข้อมูลนำเข้าเรียกว่า [[โดเมน]]ของ ''f'' และ ''Y'' ซึ่งคือเซตของผลลัพธ์'''ที่เป็นไปได้''' เรียกว่า [[โคโดเมน]] [[เรนจ์]]ของ ''f'' คือเซตของผลลัพธ์'''จริงๆ''' {''f (x) : x'' ในโดเมน} ระวังว่าบางครั้งโคโดเมนจะถูกเรียกว่าเรนจ์ เนื่องจากความผิดพลาดจากการจำแนกระหว่างผลที่เป็นไปได้กับผลจริงๆ
 
ฟังก์ชันนั้นเรียกชื่อตามเรนจ์ของมัน เช่น '''ฟังก์ชันจำนวนจริง''' หรือ '''ฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน(อ.สุทินบอกมา)'''
 
[[เอนโดฟังก์ชัน]] คือฟังก์ชันที่โดเมนและเรนจ์เป็นเซตเดียวกัน
บรรทัด 89:
''[[บุพภาพ]]'' (preimage) (หรือ ''ภาพผกผัน'') ของเซต ''B'' ⊂ ''Y'' ภายใต้ ''f'' คือเซตย่อยของ ''X'' ซึ่งมีนิยามคือ
:''f''<sup>&nbsp;−1</sup> (''B'') &nbsp;= {''x'' อยู่ใน ''X'' | ''f'' (''x'') ∈''B''}
สำหรับฟังก์ชันข้างบน บุพภาพของ {a, b} คือ ''f''<sup>&nbsp;−1</sup> ({a, b}) = {1}(อ.สุทินบอกมา)
 
== กราฟของฟังก์ชัน ==
บรรทัด 97:
[[ไฟล์:Cubicpoly.svg|thumbnail|right|กราฟของ[[ฟังก์ชันกำลังสาม]] กราฟนี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแต่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง]]
 
สังเกตว่าเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างสองเซต ''X'' และ ''Y'' มักจะแสดงด้วยเซตย่อยของ ''X''×''Y'' นิยามอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันนั้นระบุฟังก์ชัน ''f'' ด้วยกราฟของมัน(อ.สุทินบอกมา)
 
== ตัวอย่างฟังก์ชัน ==
บรรทัด 129:
 
ตัวอย่างที่สำคัญทางทฤษฎีตัวอย่างหนึ่งคือ [[กำหนดการเชิงฟังก์ชัน]] ซึ่งใช้แนวคิดของฟังก์ชันเป็นศูนย์กลาง
ด้วยวิธีนี้ การจัดการ'''ฟังก์ชันหลายตัวแปร'''ทำได้เหมือนเป็นการดำเนินการ ซึ่ง[[แคลคูลัสแลมบ์ดา]] มี[[วากยสัมพันธ์]] (syntax) ให้เรา(อ.สุทินบอกมา)
 
== การประกอบฟังก์ชัน ==
บรรทัด 139:
 
ถ้าฟังก์ชัน ''f'': ''X'' → ''Y'' เป็น[[ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งต่อเนื่อง]] แล้ว พรีอิเมจของสมาชิก ''y'' ใดๆในโคโดเมน ''Y'' จะเป็นเซตโทน
ฟังก์ชันจาก ''y'' ∈ ''Y'' ไปยังพรีอิเมจ ''f'' <sup>−1</sup> (''y'') ของมัน คือฟังก์ชันที่เรียกว่า [[ฟังก์ชันผกผัน]] ของ ''f'' เขียนแทนด้วย ''f'' <sup>−1</sup>
 
ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันผกผันสำหรับ ''f'' (''x'') = 2''x'' คือ ''f'' <sup>−1</sup> (''x'') = ''x''/2
ฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันที่ย้อนการกระทำของฟังก์ชันต้นแบบของมัน
ดู [[อิเมจผกผัน|อิเมจผกผัน(อ.สุทินบอกมา)]]
 
บางครั้งฟังก์ชันผกผันก็หายากหรือไม่มี