|
ในวิชา[[เลขคณิต]] และ[[ทฤษฎีจำนวน]] '''ตัวคูณร่วมน้อย''' หรือ '''ค.ร.น.''' ของ[[จำนวนเต็ม]]สองจำนวน ''a'' และ ''b'' มักเขียนด้วยสัญลักษณ์ '''LCM(''a'', ''b'')''' เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่[[ตัวหาร|หาร]]ทั้ง ''a'' และ ''b'' ลงตัว<ref>Hardy & Wright, § 5.1, p. 48</ref> เนื่องจากไม่นิยามการหารด้วยศูนย์ นิยามนี้จึงหมายถึงกรณีที่ ''a'' และ ''b'' ไม่ใช่ 0 เท่านั้น.<ref name="auto">{{harvtxt|Long|1972|p=39}}</ref> อย่างไรก็ตาม นักเขียนบางคนนิยาม lcm(''a'',0) เป็น 0 สำหรับ ''a'' ใด ๆ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการคูณร่วมน้อยเป็น[[อินฟิมัมและซูพรีมัม|ซูพรีมัมหรือขอบบนน้อยสุด]]ใน[[แลตทิซ]]ของการหาร
{{ต้องการอ้างอิง}}
ค.ร.น. เป็นที่คุ้นเคยในวิชาเลขคณิตชั้นประถมศึกษาในชื่อ "[[ตัวส่วนร่วมน้อย]]" ที่ต้องกำหนดก่อนบวก ลบ หรือเปรียบเทียบ[[เศษส่วน]] ค.ร.น. ของจำนวนเต็มมากกว่าสองจำนวนก็มีนิยามว่า คือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารแต่ละจำนวนลงตัว
'''ตัวคูณร่วมน้อย''' หรือ '''ค.ร.น.''' ({{lang-en|least common multiple}}: lcm) คือ [[จำนวนเต็มบวก]]ที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งนำไปหารด้วยจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป แล้วจะได้ผลลัพธ์ลงตัวพอดี หรือกล่าวอีกนัยนึง คือ เมื่อเรามีจำนวนตัวเลขอยู่กลุ่มหนึง เราต้องการหาจำนวนเต็มบวกใดๆที่น้อยที่สุด โดยที่ตัวเลขทุกตัวในกลุ่มสามารถหารจำนวนนี้ได้ลงตัว
ประโยชน์ในการใช้ เช่น เวลาบวกเลขเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน เราจำเป็นต้องหา ค.ร.น ของตัวส่วนทั้งสอง เพื่อปรับเลขเศษส่วนโดยการคูณทั้งเศษและส่วน และทำเหมือนกันกับเลขเศษส่วนอีกตัวนึง เพื่อให้ตัวส่วนของจำนวนทั้งสองมีค่าเท่ากัน จึงจะสามารถบวกตัวเศษกันได้ อย่างเช่น 2/12 + 1/16 , ค.ร.น ของ 12 และ 16 = 48 เท่ากับว่า ตัวแรกต้องคูณด้วย 48/12 = 4 ทั้งเศษและส่วน และตัวที่สองต้องคูณด้วย 48/16 = 3 ทั้งเศษและส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณการบวกของเลขเศษส่วนได้ดังนี้ (2/12) * (4/4) + (1/16) * (3/3) = 8/48 + 3/48 = 11/48
== อ้างอิง ==
== การหา ค.ร.น. ==
{{รายการอ้างอิง}}
ทำได้หลายวิธี ในที่นี้จะเน้นกล่าว 3 วิธีหลักๆที่เป็นที่นิยม
=== วิธีที่ 1 โดยการพิจารณาพหุคูณ ===
เช่น เราต้องการ ค.ร.น. ของ 6 , 9 และ 18
วิธีทำ พิจารณา พหุคูณ ของ 6,9 และ 18 ได้ดังนี้
<pre>
พหุคูณของ 6 คือ 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,...
พหุคูณของ 9 คือ 9,18,27,36,45,54,63,72,90,99,108,117,...
พหุคูณของ 18 คือ 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180,198,216,...
</pre>
* พหุคูณร่วมของ 6,9,18 คือ 18,36,72,...
* พหุคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6,9,18 คือ 18
* ดังนั้น 18 จึงเป็น ค.ร.น. ของ 6,9 และ 18
=== วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบ ===
เช่น เราต้องการหา ค.ร.น ของ 18,24 และ 210
* ให้กระจายตัวประกอบออกมา
<pre>
18 = 2x3x3
24 = 2x3x2x2
210 = 2x3x5x7
</pre>
* จากข้างบน ทั้ง 3 บรรทัด มี 2 เหมือนกัน อยู่ 1 ตัว (ลองเขียนในกระดาษแล้ววาดวงกลมล้อมคอลัมน์แรก (แถวแรกในแนวตั้ง)) และก็มี 3 เหมือนกัน อยู่อีก 1 ตัว (คอลัมน์ที่ 2) หยิบมาคูณกัน
2x3 = 6
* นำตัวเลขที่เหลือ (ที่ไม่ได้วงกลม ในกรณีที่วาดในกระดาษตามที่แนะนำ) มาคูณต่อ ได้คำตอบของ ค.ร.น
6 (จากขั้นตอนที่แล้ว) x3x2x2x5x7 = 2520
* การหา ค.ร.น. จะต้องเอาเลขที่แตกต่างจากพวกมากที่สุดไว้หน้า เช่น 12 = 3x2x2
=== วิธีที่ 3 การหารสั้น ===
วิธีนี้ เป็นวิธีที่ง่าย เพราะบางครั้งการแยกตัวประกอบ ค่อนข้างจะคำนวณยาก โดยเฉพาะผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา
* นำมาเขียนเรียงกัน โดยเว้นวรรคระหว่างจำนวนด้วย 18 24 210
* ลองไล่เอา 2 หารดูว่าลงตัวทั้งหมดไหม ถ้าไม่ลงตัว ก็เปลี่ยนเป็น 3 ลองหารทั้งหมดดู ถ้าไม่ลงตัว ก็ลองใช้ 5 ลองหารดู โดยมีวิธีไล่ลำดับตัวเลขที่ใช้จาก[[จำนวนเฉพาะ]]
2,3,5,7,11,13,17,19,...
* ทำซ้ำกับผลหารที่ได้จากข้อที่แล้ว ไปเรื่อยๆ จนไม่สามารถหารจำนวนเฉพาะมาหารได้ลงตัวอีกต่อไป
* เอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ
ดูตัวอย่างประกอบ
<pre>
2 ) 18 24 210
---------------
9 12 105
</pre>
ลอง 2 หารอีก
<pre>
2 ) 9 12 105
----------------
4.5 6 52.5
</pre>
จะเห็นว่าหารไม่ลงตัว เพราะหารได้ผลติดทศนิยม เปลี่ยนเลขเป็นจำนวนเฉพาะถัดไป ได้แก่ 3
<pre>
3 ) 9 12 105
----------------
3 4 35
</pre>
ถึงตรงนี้ เราจะไม่สามารถหาจำนวนเฉพาะใดๆเพื่อมาหารได้อีกต่อไป เราจึงนำเอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ
<pre>
2x3x3x4x35 = 2520
</pre>
อธิบายซ้ำ : เราสามารถเขียนภาพรวมได้ดังนี้
<pre>
2 ) 18 24 210
--------------
3 ) 9 12 105
--------------
3 4 35
2x3x3x4x35 = 2520
</pre>
นอกจาก 2 วิธีที่แนะนำไปแล้ว ยังสามารถทำวิธีอื่นๆ อย่างเช่น ลองไล่สูตรคูณของกลุ่มตัวเลขที่เราต้องการหา แล้วหยิบตัวเลขที่น้อยที่สุดที่มีเหมือนกันในผลสูตรคูณของตัวเลขทั้งหมดนั้น
เช่นหา ค.ร.น. ของ 12 และ 16 โดยเลือกจากจำนวนที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ
* จำนวนนับที่มี 12 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (12*1), (12*2), (12*3),… = 12,24,36,48,60…
* จำนวนนับที่มี 16 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (16*1), (16*2), (16*3),… = 16,32,48,64,80…
48 เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 48
(7/12-1/16=
[[หมวดหมู่:เลขคณิต]]
| 