ผลต่างระหว่างรุ่นของ "กลศาสตร์ดั้งเดิม"

เหลือส่วนของ Limits of validity
ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่ การแก้ไขแบบเห็นภาพ
(เหลือส่วนของ Limits of validity)
ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าความเร็วของวัตถุแรกให้เป็น '''u''' = u'''d''' และความเร็วของวัตถุที่สองให้เป็น '''v''' = v'''e''' โดย v และ u เป็นอัตราเร็วของวัตถุแรก และวัตถุที่สองตามลำดับ และ '''d''' กับ '''e''' เป็น[[เวกเตอร์หนึ่งหน่วย]]ซึ่งแสดงถึงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ ดังนั้นความเร็วของวัตถุแรกที่เห็นโดยวัตถุที่สอง คือ
 
<math>\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \mathbf{v} \, .</math>
 
เช่นเดียวกับวัตถุที่หนึ่งที่มองกับวัตถุที่สอง
 
<math>\mathbf{v'}= \mathbf{v} - \mathbf{u} \, .</math>
 
เมื่อวัตถุเดินทางในทิศทางเดียวกัน สามารถทำสมการให้เป็นรูปอย่างง่ายดังนี้
 
<math>\mathbf{u}' = ( u - v ) \mathbf{d} \, .</math>
 
หรือถ้าไม่คำนึงถึงทิศทาง ความต่างนี้จะอยู่ในรูปของอัตราเร็วเท่านั้น ดังสมการนี้
 
<math>u' = u - v \, .</math>
 
==== ความเร่ง ====
{{main|ความเร่ง}}''ความเร่ง'' หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วคืออนุพันธ์เวลาของความเร็ว (อนุพันธ์เวลาที่สองของตำแหน่ง) สามารถแสดงได้ดังนี้
 
<math>\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d^2}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t^2}.</math>
 
โดยความเร่งจะแสดงถึงความเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปในช่วงเวลานั้น ๆ ไม่ว่าเป็นอัตราเร็ว ทิศทางของความเร็ว หรือทั้งสองอย่าง ซึ่งถ้าความเร็วลดลงไปเรื่อย ๆ เพียงอย่างเดียว ก็สามารถเรียกได้ว่าความหน่วงเช่นกัน แต่ปกติแล้ว ทั้งความหน่วงและความเร่งมักถูกเรียกง่าย ๆ ว่าความเร่งเพียงอย่างเดียว
พิจารณากรอบอ้างอิงเฉื่อย 2 กรอบ คือ ''S'' และ ''S'<nowiki/>'' ผู้สังเกตแต่ละคนจะตีกรอบเหตุการณ์ให้อยู่ในพิกัดปริภูมิ-เวลาของ (''x'',''y'',''z'',''t'') สำหรับกรอบ ''S'' และ (''x'<nowiki/>'',''y'<nowiki/>'',''z'<nowiki/>'',''t'<nowiki/>'') ในกรอบ ''S'<nowiki/>'' โดยให้เวลาที่สังเกตนั้นเท่ากันในทุกกรอบอ้างอิง และถ้าเราให้ ''x ='' ''x'<nowiki/>'' เมื่อ ''t ='' 0 จากนั้นความสัมพพันธ์ระหว่างพิกัดปริภูมิ-เวลาของเหตุการณ์เดียวกันที่มองจาก ''S'' และ ''S''' ซึ่งเคลื่อนที่อยู่ด้วยความเร็วสัมพัทธ์ที่ ''U'' ในทิศทาง ''x'' คือ
 
<math>x'=x-ut</math>
''<var>x'</var> = x − u·t''
 
''<varmath>y'=y</varmath> = y''
 
''<varmath>z'=z</varmath> = z''
 
''<varmath>t'=t</varmath> = t''
 
โดยชุดสูตรเหล่านี้ถูกนิยามไว้ว่าเป็นการแปลงแบบกลุ่มหรือรู้จักในชื่อว่า การแปลงแบบกาลิเลโอ กลุ่มนี้มีข้อจำกัดในส่วนของกลุ่มปวงกาเร (Poincaré group) ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งข้อจำกัดที่ว่าจะมีผลเมื่อความเร็ว ''u'' มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับ ''c'' หรือความเร็วแสง
การแปลงจะมีผลที่ตามมาดังนี้
 
'''v'''''<nowiki/>'<nowiki/>=''''<math>\bold{v'=v'''-'''u'''}</math> (ความเร็ว '''v'''''<nowiki/>'<nowiki/>''<nowiki/> ของอนุภาคจากมุมมองของ ''S'' ช้ากว่า '''v''' จากมุมมองของ ''S'' ที่เท่ากับ '''u''')
 
'''<math>\bold{a'''′ ''='' '''a'''}</math> (ความเร่งคงที่เสมอในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใด ๆ)
 
'''<math>\bold{F'''′ = '''F'''}</math> (แรงที่กระทำเท่าเดิมในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใด ๆ)
 
ความเร็วแสงไม่ใช่ค่าคงที่ในกลศาสตร์ดั้งเดิม หรือไม่ใช่เป็นตำแหน่งพิเศษที่ถูกให้โดยความเร็วแสงในกลศาสตร์สัมพัทธภาพซึ่งตรงข้ามกับกลศาสตร์ดั้งเดิม
โดยให้ '''v'''<sub>0</sub> เป็นความเร็วในขณะเริ่มต้น หมายความว่าความเร็วของอนุภาคมีการลดลงเชิงเอ็กซ์โพเนนเชียล ความเร็วมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อเวลาผ่านไปนานขึ้น ในกรณีนี้ สามารถเทียบเท่าได้กับพลังงานจลน์ที่ถูกซับไปจากการเสียดทาน (กลายเป็นพลังงานความร้อนที่เกี่ยวเนื่องกับการอนุรักษ์พลังงาน) และอนุภาคเคลื่อนที่ช้าลง นิพจน์นี้สามารถทำการปริพันธ์เพิ่มเติมเพื่อแทนเป็นตำแหน่ง '''r''' ต่อฟังก์ชันของเวลา
 
แรงที่สำคัญจะรวมถึงแรงโน้มถ่วงและแรงลอเรนซ์สำหรับแม่เหล็กไฟฟ้า นอกจากนั้น กฎของนิวตนข้อที่สามสามารถอนุมานได้เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุ คือ ถ้ารู้ว่าอนุภาค A กระทำแรง '''F''' ต่ออนุภาค B ทำให้ B ต้องออกแรงปฏิกิริยา ซึ่งขนาดเท่ากัน แต่อยู่ในทิศตรงข้าม -'''F''' บน A รูปแบบที่เข้มแข็ง (Strong form) ของกฎข้อที่สามของนิวตัน คือ แรง '''F''' และ -'''F''' กระทำกันบนเส้นที่ลากผ่านระหว่าง A และ B ซึ่งรูปแบบอย่างอ่อนจะไม่เป็นแบบรูปแบบอย่างเข้ม มักจะพบเจอสำหรับในแรงแม่เหล็ก
 
=== งานและพลังงาน ===
{{บทความหลัก|งาน (ฟิสิกส์)|พลังงานจลน์|พลังงานศักย์}}ถ้าแรงที่กระทำคงที่ '''F''' กระทำต่ออนุภาค โดยก่อให้เกิดการกระจัด Δ'''r''' งานสุดท้ายโดยแรงที่กระทำนิยามเป็นผลคูณสเกลาร์ของแรงและเวกเตอร์การกระจัด ซึ่งคือ
 
<math>W=\bold{F}\cdot\Delta \bold{r}</math>
=== นอกจากกฎของนิวตัน ===
 
เมื่อทำให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้น ถ้าแรงที่กระทำไม่คงที่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งที่อนุภาคเคลื่อนที่จากจุด '''r'''<sub>1</sub> ถึง '''r'''<sub>2</sub> ไปตามเส้นทาง ''C'' งานสุดท้ายของอนุภาคจะถูกให้นิยามโดยปริพันธ์ตามเส้น (Line Integral) ดังนี้
 
<math>W=\int_{C} \bold{F(r)} \cdot \mathrm{d}\bold{r}</math>
 
ถ้างานสุดท้ายในการเคลื่อนที่ของอนุภาคจากจุด '''r'''<sub>1</sub> ถึง '''r'''<sub>2</sub> เท่าเดิมเมื่อได้เดินตามเส้นทางแล้ว แรงพวกนี้จะเรียกได้ว่าแรงอนุรักษ์ แรงโน้มถ่วงเป็นแรงอนุรักษ์ เช่นเดียวกับแรงที่กระทำต่อสปริงในอุดมคติ ซึ่งให้โดยกฎของฮุก แต่ถ้าแรงขึ้นอยู่กับความเสียดทาน แรงนั้นจะเป็นแรงไม่อนุรักษ์
 
พลังงานจลน์ ''E<sub>k</sub>'' ของอนุภาคที่มีมวล ''m'' ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ''v'' ถูกให้นิยามโดย
 
<math>E_\mathrm{k}={1 \over 2}mv^2</math>
 
แรงอนุรักษ์สามารถอธิบายได้ด้วย[[เกรเดียนต์]]ของฟังก์ชันสเกลาร์ หรือรู้จักกันในชื่อพลังงานศักย์ และแทนด้วย ''E''<sub>p</sub> ซึ่งก็คือ
 
<math>\bold{F}=-\nabla E_\mathrm{p}</math>
 
ถ้าแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคเป็นแรงอนุรักษ์ และ ''E''<sub>p</sub> เป็นพลังงานศักย์ทั้งหมด (ซึ่งนิยามโดยงานของแรงที่เกี่ยวโยงสู่การย้ายตำแหน่งของวัตถุร่วมกัน) เมื่อนำพลังงานศักย์ทั้งหมดมารวมกันตรงกับแรงแต่ละแรง
 
<math>\bold{F}\cdot\Delta\bold{r}=-\nabla E_\mathrm{p}\cdot\Delta\bold{r}=-\Delta{E_\mathrm{p}}</math>
 
การลดลงของพลังงานศักย์มีค่าเท่ากับการเพิ่มของพลังงานจลน์
 
<math>-\Delta{E_\mathrm{p}}=\Delta{E_\mathrm{k}}
\Rightarrow\Delta(E_\mathrm{k}+E_\mathrm{p})=0</math>
 
สิ่งนี้รู้จักในชื่อว่า ''กฎการอนุรักษ์พลังงาน'' และสภาวะของพลังงานทั้งหมดจึงเป็น
 
<math>\sum{E}=E_\mathrm{k}+E_\mathrm{p}</math>
 
ซึ่งเป็นค่าคงที่ตลอดเวลา กฎอนุรักษ์พลังงานมักจะมีประโยชน์ เพราะแรงทั่วไปที่กระทำอยู่จำนวนจำนวนมากเป็นแรงอนุรักษ์
 
=== นอกจากนอกเหนือกฎของนิวตัน ===
กลศาสตร์ดั้งเดิมสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนกว่านี้อย่างอนุภาคที่มีลักษณะไม่คล้ายจุด กฎของออยเลอร์ช่วยให้ขยายการใช้กฎของนิวตันในส่วนนี้ แนวคิดของโมเมนตัมเชิงมุมขึ้นอยู่กับแคลคูลัสชุดเดียวกันที่อธิบายการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ สมการจรวดได้ขยายแนวคิดของอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมซึ่งมีผลกระทบ คือ การสูญเสียมวล
 
กลศาสตร์ดั้งเดิมได้มีการจัดรูปที่แตกต่างจากกลศาสตร์นิวตันอยู่สองแบบที่สำคัญ คือ กลศาสตร์แบบลากรางจ์ และ กลศาสตร์แฮมิลตัน ซึ่งกลศาสตร์เหล่านี้หรือการจัดรูปในยุคใหม่มักไม่ใช้แนวคิดของ "แรง" โดยจะแทนด้วยปริมาณทางฟิสิกส์อื่น ๆ เช่น พลังงาน อัตราเร็ว และ โมเมนตัม เพื่ออธิบายระบบกลไกในพิกัดทั่วไป
 
นิพจน์เหล่านี้ได้ถูกให้นิยามไปแล้วสำหรับโมเมนตัมและพลังงานจลน์ในส่วนก่อนหน้าซึ่งมีอยู่เมื่องไม่มีแม่เหล็กไฟฟ้ามาเกี่ยวข้องอย่างมีนัยสำคัญ ในแม่เหล็กไฟ้ฟ้า กฎของนิวตันข้อที่สองสำหรับสายไฟที่ไว้ย้ายประจุไฟฟ้าจะใช้ไม่ได้เมื่อมีสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามาเกี่ยวข้องกับโมเมนตัมของระบบซึ่งอธิบายโดยพอยน์ติงเวกเตอร์ (Poynting vector) หารด้วย ''c''<sup>2</sup> เมื่อ ''c'' เป็นความเร็วแสงในพื้นที่ว่างเปล่า
 
==ข้อจำกัดของกลศาสตร์ดั้งเดิม==
59

การแก้ไข