ผลต่างระหว่างรุ่นของ "รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม"

 
== ตัวดำเนินการลดรูป (Simpler operations) ==
ลอการิทึมสามารถลดรูปเพื่อให้การคำนวณนั้นง่ายขึ้น ยกตัวอย่างเช่น จำนวนสองจำนวนสามารถคูณกันได้โดยใช้ตารางลอการิทึมและจับค่าที่แปลงได้มาบวกกัน โดยตัวดำเนินการสามตัวแรกข้างใต้นี้กำหนดให้ x = b<big><sup>c</sup></big> และ/หรือ y = b<big><sup>d</sup></big> ทำให้ log<sub>b</sub>(x) = c และ log<sub>b</sub>(y) = d การแปลงสมการก็สามารถใช้ตามนิยามของลอการิทึม x = b<big><sup>log<sub>b</sub>(x)</sup></big> และ x = log<sub>b</sub>(b<sup>x</sup>)
 
Logarithms can be used to make calculations easier. For example, two numbers can be multiplied just by using a logarithm table and adding. The first three operations below assume , and/or so that and . Derivations also use the log definitions and .
{| cellpadding="3"
| <math>\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)</math>
| เพราะ
| because
| <math>b^c\cdot b^d=b^{c+d}</math>
|-
| <math>\log_b(\tfrac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)</math>
| เพราะ
| because
| <math>b^{c-d}=\tfrac{b^c}{b^d}</math>
|-
| <math>\log_b(x^d)=d\log_b(x)</math>
| เพราะ
| because
| <math>(b^c)^d=b^{cd}</math>
|-
| <math>\log_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\frac{\log_b(x)}{y}</math>
| เพราะ
| because
| <math>\sqrt[y]{x}=x^{1/y}</math>
|-
| <math>x^{\log_b(y)}=y^{\log_b(x)}</math>
| เพราะ
| because
| <math>x^{\log_b(y)}=b^{\log_b(x)\log_b(y)}=(b^{\log_b(y)})^{\log_b(x)}=y^{\log_b(x)}</math>
|-
| <math>c\log_b(x)+d\log_b(y)=\log_b(x^c y^d)</math>
| เพราะ
| because
| <math>\log_b(x^c y^d)=\log_b(x^c)+\log_b(y^d)</math>
|}
Whereโดยให้ <math>b</math>, <math>x</math>, andและ <math>y</math> are positive real numbers andเป็นจำนวนจริงบวกและ <math>b \ne 1</math>. Bothทั้ง <math>c</math> andและ <math>d</math> are real numbers.เป็นจำนวนจริง
 
ผลลัพธ์ของกฎที่มาจากการยกเลิกเลขชี้กำลัง และกฎของเลขชี้กำลังที่จำเป็น โดยเริ่มต้นจากกฎข้อแรกจะเห็นว่า
The laws result from canceling exponentials and appropriate law of indices. Starting with the first law:
 
<math>xy = b^{\log_b(x)} b^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) + \log_b(y)} \Rightarrow \log_b(xy) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y)</math>
 
กฎสำหรับเลขยกกำลังได้ถูกใช้ในกฎข้ออื่น ๆ ของกฎเลขชี้กำลังอีกด้วยดังที่เห็น
The law for powers exploits another of the laws of indices:
 
<math>x^y = (b^{\log_b(x)})^y = b^{y \log_b(x)} \Rightarrow \log_b(x^y) = y \log_b(x)</math>
 
กฎที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนได้ถูกใช้ตามนี้
The law relating to quotients then follows:
 
<math>\log_b \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \log_b(x y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)</math>
 
เช่นเดียวกัน กฎของกรณฑ์ก็ได้แปลงโดยการเขียนกรณฑ์ต่างๆ เป็นเศษส่วน
Similarly, the root law is derived by rewriting the root as a reciprocal power:
 
<math>\log_b(\sqrt[y]x) = \log_b(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\log_b(x)</math>
 
== เปลี่ยนเลขฐาน ==
== Changing the base ==
: <math>\log_b a=\frac{\log_d(a)}{\log_d(b)}</math>
This identity is useful to evaluate logarithms on calculators. For instance, most calculators have buttonsเอกลักษณ์นี้เป็นประโยชน์มากต่อการคำนวณลอการิทึมผ่านเครื่องคิดเลข forโดยเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่มักจะมีแค่ปุ่ม [[ลอการิทึมธรรมชาติ|ln]] and forและ log<sub>10</sub>, butเท่านั้น notไม่มีลอการิทึมฐานอื่น ๆ forเช่น log<sub>2</sub>. To findดังนั้นเมื่อจะหา log<sub>2</sub>(3), one could calculateจะใช้ log<sub>10</sub>(3) / log<sub>10</sub>(2) (or ln(3)/ln(2), which yields the same) result.แทนซึ่งผลลัพธ์มีค่าเท่ากัน
 
=== Proofพิสูจน์ ===
: Letให้ <math>c=\log_b a</math>.
 
: Thenจากนั้น <math>b^c=a</math>.
 
: Takeนำ <math>\log_d</math> on both sides:ไปใส่ไว้ในสมการทั้งสองข้างจะได้ <math>\log_d b^c=\log_d a</math>
 
: Simplify and solve forลดรูป <math>c</math>: จะได้ <math> c\log_d b=\log_d a</math>
 
: <math>c=\frac{\log_d a}{\log_d b}</math>
 
: Sinceเมื่อ <math>c=\log_b a</math>, thenดังนั้น <math>\log_b a=\frac{\log_d a}{\log_d b}</math>
โดยสมการนี้สามารถให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ได้อีกด้วย
This formula has several consequences:
: <math> \log_b a = \frac {1} {\log_a b} </math>
 
: <math> \log_{b_1}a_1 \,\cdots\, \log_{b_n}a_n
= \log_{b_{\pi(1)}}a_1\, \cdots\, \log_{b_{\pi(n)}}a_n, \, </math>
whereโดยให้ <math>\scriptstyle\pi\,</math> is any เป็น[[การเรียงสับเปลี่ยน|permutation]] of the subscriptsของจำนวน 1,&nbsp;...,&nbsp;''n''. ใด For exampleยกตัวอย่างเช่น
: <math> \log_b w\cdot \log_a x\cdot \log_d c\cdot \log_d z
= \log_d w\cdot \log_b x\cdot \log_a c\cdot \log_d z. \, </math>
 
=== การบวกและการลบของลอการิทึม ===
=== Summation/subtraction ===
กฎการบวกและการลบของลอการิทึมดังต่อไปนี้มีประโยชน์มาก โดยเฉพาะในทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อมีการใช้ผลรวมของความน่าจะเป็นแบบลอการิทึม
The following summation/subtraction rule is especially useful in probability theory when one is dealing with a sum of log-probabilities:
: <math>\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1+\frac{c}{a}\right)</math>
 
: <math>\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1-\frac{c}{a}\right)</math>
N<math>a</math> และ <math>c</math>
Note that in practice <math>a</math> and <math>c</math> have to be switched on the right hand side of the equations if <math>c>a</math>. Also note that the subtraction identity is not defined if <math>a=c</math> since the logarithm of zero is not defined. Many programming languages have a specific <code>log1p(x)</code> function that calculates <math>\log_e (1+x)</math> without underflow when <math>x</math> is small.
 
Note that in practice <math>a</math> and <math>c</math> have to be switched on the right hand side of the equations if <math>c>a</math>. Also note that the subtraction identity is not defined if <math>a=c</math> since the logarithm of zero is not defined. Many programming languages have a specific <code>log1p(x)</code> function that calculates <math>\log_e (1+x)</math> without underflow when <math>x</math> is small.
 
More generally:
50

การแก้ไข