ผลต่างระหว่างรุ่นของ "หลายสิ่งอันดับ"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
หน้าใหม่: '''หลายสิ่งอันดับ''' หรือ '''ทูเพิล''' ({{lang-en|tuple}}) เป็นวัตถุทางคณิตศาสต... |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 1:
'''หลายสิ่งอันดับ''' หรือ '''ทูเพิล''' ({{lang-en|tuple}}) เป็น[[วัตถุทางคณิตศาสตร์]]ชนิดหนึ่ง โดย '''<math>n</math>-สิ่งอันดับ''' เป็นลำดับของสิ่ง <math>n</math> สิ่ง (เมื่อ <math>n</math> เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่
ใน[[คณิตศาสตร์]] หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่น[[เวกเตอร์]] ส่วนใน[[การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์]] โดยเฉพาะ[[การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน]] หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น [[ภาษาศาสตร์]]<ref>http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199202720.001.0001/acref-9780199202720-e-2276</ref> และ[[ปรัชญา]]<ref>http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199541430.001.0001/acref-9780199541430-e-2262</ref>
บรรทัด 9:
คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจาก[[เซต]] ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้
# หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ <math> (1, 2, 2, 3) \neq (1, 2, 3) </math> แต่เซต <math>\{1, 2, 2, 3\} = \{1, 2, 3\}</math>
#
# หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็น[[อนันต์]] ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้
== นิยาม ==
หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้
=== นิยามด้วยฟังก์ชัน ===
ในเชิง[[ทฤษฎีเซต]] อาจนิยาม <math>n</math>-สิ่งอันดับเป็น[[ฟังก์ชัน]] ''F'' ที่มีโดเมนเป็นเซต ''X'' ของตำแหน่งต่างๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต ''Y'' ของสิ่งต่างๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ <math>n</math>-สิ่งอันดับ คือ
: <math>(a_1, a_2, \dots, a_n) \equiv (X,Y,F)</math>
เมื่อ
: <math>
\begin{align}
X & = \{1, 2, \dots, n\} \\
Y & = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \\
F & = \{(1, a_1), (2, a_2), \ldots, (n, a_n)\}. \\
\end{align}
</math>
หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น
:<math> (a_1, a_2, \dots, a_n) := (F(1), F(2), \dots, F(n)).</math>
=== นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน ===
ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม <math>n</math>-สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ <math>n</math>-สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง <math>\emptyset</math>
# <math>n</math>-สิ่งอันดับ เมื่อ <math>n > 0</math> นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น <math>(n-1)</math>-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
#: <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, a_3, \ldots, a_n))</math>
เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า
: <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, (a_3, (\ldots, (a_n, \emptyset)\ldots))))</math>
ตัวอย่างเช่น
: <math>
\begin{align}
(1, 2, 3) & = (1, (2, (3, \emptyset))) \\
(1, 2, 3, 4) & = (1, (2, (3, (4, \emptyset)))) \\
\end{align}
</math>
หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง <math>\emptyset</math>
# <math>n</math>-สิ่งอันดับ เมื่อ <math>n > 0</math> นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น <math>(n-1)</math>-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
#: <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = ((a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{n-1}), a_n)</math>
เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า
: <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = ((\ldots(((\emptyset, a_1), a_2), a_3), \ldots), a_n)</math>
ตัวอย่างเช่น
: <math>
\begin{align}
(1, 2, 3) & = (((\emptyset, 1), 2), 3) \\
(1, 2, 3, 4) & = ((((\emptyset, 1), 2), 3), 4) \\
\end{align}
</math>
===Tuples as nested sets===
เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ [[คู่อันดับ#นิยามของ Kuratowski|นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี]] จะได้นิยามของ <math>n</math>-สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง <math>\emptyset</math>
# กำหนดให้ <math>x</math> เป็น <math>n</math>-สิ่งอันดับ <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math> และกำหนดให้ <math>x \rightarrow b \equiv (a_1, a_2, \ldots, a_n, b)</math> จะได้ว่า <math>x \rightarrow b \equiv \{\{x\}, \{x, b\}\}</math> (เรียกว่า <math>x</math> เชื่อมกับ <math>b</math>)
ตัวอย่างเช่น
: <math>
\begin{array}{lclcl}
() & & &=& \emptyset \\
& & & & \\
(1) &=& () \rightarrow 1 &=& \{\{()\},\{(),1\}\} \\
& & &=& \{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\} \\
& & & & \\
(1,2) &=& (1) \rightarrow 2 &=& \{\{(1)\},\{(1),2\}\} \\
& & &=& \{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\} \\
& & & & \\
(1,2,3) &=& (1,2) \rightarrow 3 &=& \{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\} \\
& & &=& \{\{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\},3\}\} \\
\end{array}
</math>
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
{{refbegin}}
* {{citation|first1=John P.|last1=D'Angelo|first2=Douglas B.|last2=West|title=Mathematical Thinking / Problem-Solving and Proofs|year=2000|edition=2nd|publisher=Prentice-Hall|isbn=978-0-13-014412-6}}
* [[Keith Devlin]], ''The Joy of Sets''. Springer Verlag, 2nd ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp. 7–8
* [[Abraham Adolf Fraenkel]], [[Yehoshua Bar-Hillel]], [[Azriel Lévy]], ''[http://books.google.com/books?q=Foundations+of+set+theory&btnG=Search+Books Foundations of set theory]'', Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p. 33
* [[Gaisi Takeuti]], W. M. Zaring, ''Introduction to Axiomatic Set Theory'', Springer [[Graduate texts in mathematics|GTM]] 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p. 14
* George J. Tourlakis, ''[http://books.google.com/books?as_isbn=9780521753746 Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory]'', Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp. 182–193
{{refend}}
[[หมวดหมู่:มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต]]
| |||