ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด"
สร้างบทความใหม่ |
(ไม่แตกต่าง)
|
รุ่นแก้ไขเมื่อ 17:35, 15 มีนาคม 2557
ในวิชาคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด[a] หรือขั้นตอนวิธีของยุคลิด เป็นวิธีคำนวณตัวหารร่วมมาก (หรม.) ของจำนวนเต็มสองจำนวน ตั้งชื่อตามยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้อธิบายทฤษฎีนี้ในอิลิเมนต์ของยุคลิดเล่ม VII และ X [1]
ตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนมากที่สุดที่หารทั้งสองได้โดยไม่เหลือเศษ
รูปอย่างง่ายที่สุดของขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเริ่มด้วยจำนวนเต็มบวกคู่หนึ่ง และสร้างจำนวนคู่หนึ่งที่ประกอบด้วยจำนวนที่น้อยกว่าและผลต่างระหว่างจำนวนทั้งสอง กระบวนการทำซ้ำจนจำนวนทั้งสองเท่ากัน จำนวนสุดท้ายเป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มบวกที่ขั้นตอนเริ่ม
หลักการสำคัญคือ หรม. ไม่เปลี่ยนค่าถ้านำจำนวนที่น้อยกว่าลบจำนวนที่มากกว่า เช่น หรม. ของ 252 และ 105 is เท่ากับ หรม. ของ 147 (= 252 − 105) และ 105 เพราะว่าจำนวนที่มากกว่าถูกลด การทำวิธีนี้ซ้ำทำให้ได้จำนวนเล็กลง การซ้ำนี้จึงจบอย่างแน่นอนเมื่อทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากัน (ถ้าทำอีกหนึ่งครั้ง จำนวนใดจำนวนหนึ่งจะเป็น 0)
หลักฐานเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดพบในหนังสือ Elements ของยุคลิด (ในช่วงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล) ทำให้เป็นขั้นตอนวิธีเก่าแก่ที่สุดเกี่ยวกับจำนวนที่ยังใช้โดยทั่วไป ขั้นตอนวิธีฉบับดังเดิมใช้สำหรับจำนวนธรรมชาติและความยาวเชิงเรขาคณิต (จำนวนจริง) แต่นักคณิตศาสตร์ได้ขยายการใช้งานไปยังจำนวนชนิดอื่น เช่น จำนวนเต็มเกาส์เซียนและพหุนามหนึ่งตัวแปร อันนำไปสู่แนวคิดเชิงพีชคณิตนามธรรมสมัยใหม่ เช่นโดเมนแบบยุคลิด ขั้นตอนวิธีของยุคลิดได้นำไปใช้กับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น เงื่อน และพหุนามหลายตัวแปร
หมายเหตุ
- a. ^ Some widely used textbooks, such as I. N. Herstein's Topics in Algebra and Serge Lang's Algebra, use the term "Euclidean algorithm" to refer to Euclidean division.
อ้างอิง
- ↑ Thomas L. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements, 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925], 1956, Dover Publications