ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Addbot (คุย | ส่วนร่วม)
Bot: Migrating 85 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q11348 (translate me)
ป้ายระบุ: ลบลิงก์ข้ามภาษา
บัญญัติศัพท์ Formal เป็น รูปนัย
ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่
บรรทัด 36:
แนวคิดของ '''ฟังก์ชัน''' ที่เป็นกฎในการคำนวณ แทนที่เป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษนั้น อยู่ใน[[คณิตตรรกศาสตร์]] และ[[วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี]] ด้วยหลายระบบ รวมไปถึง [[แคลคูลัสแลมบ์ดา]] ทฤษฎี[[ฟังก์ชันเวียนเกิด]] และ[[เครื่องจักรทัวริง]]
 
== นิยามอย่างเป็นทางการรูปนัย ==
ฟังก์ชัน ''<math>f''</math> จากข้อมูลนำเข้าในเซต ''<math>X''</math> ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต ''<math>Y''</math> (เขียนเป็น <math>f:X\rightarrow Y</math>) คือ[[ความสัมพันธ์]] ระหว่าง ''<math>X''</math> กับ ''<math>Y''</math> ซึ่ง
# สำหรับทุกค่า ''<math>x''</math> ใน ''<math>X''</math> จะมี ''<math>y''</math> ใน ''<math>Y''</math> ซึ่ง ''<math>x f y''</math> ('' <math>x''</math> มีความสัมพันธ์ ''<math>f''</math> กับ ''<math>y''</math>) นั่นคือ สำหรับค่านำเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน ''<math>Y''</math> อย่างน้อย <math>1</math> ผลลัพธ์เสมอ
# ถ้า ''<math>x f y''</math> และ ''<math>x f z''</math> แล้ว ''<math>y = z''</math> นั่นคือ ค่านำเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่านำเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้
 
ค่านำเข้า ''<math>x''</math> แต่ละค่า จากโดเมน จะมีผลลัพธ์ ''<math>y''</math> จากโคโดเมนเพียงค่าเดียว แทนด้วย ''<math>f (x) ''</math>
 
จากนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนอย่างสั้นๆได้ว่า ฟังก์ชันจาก ''<math>X''</math> ไปยัง ''<math>Y''</math> คือ[[เซตย่อย]] ''<math>f''</math> ของ[[ผลคูณคาร์ทีเซียน]] <math>X \times Y</math> โดยที่แต่ละค่าของ ''<math>x''</math> ใน ''<math>X''</math> จะมี ''<math>y''</math> ใน ''<math>Y''</math> ที่แตกต่างกัน โดยที่คู่อันดับ <math>(''x'', ''y'')</math> อยู่ใน ''<math>f''</math>
 
เซตของฟังก์ชัน <math>f:X\rightarrow Y</math> ทุกฟังก์ชันแทนด้วย ''Y<sup>X</sup>'' สังเกตว่า ''|Y<sup>X</sup>|&nbsp;=&nbsp;|Y|<sup>|X|</sup>'' (อ้างถึง [[จำนวนเชิงการนับ]])
 
ความสัมพันธ์ระหว่าง ''<math>X''</math> กับ ''<math>Y''</math> ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือ'''[[ฟังก์ชันหลายค่า]]''' ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง ''<math>X''</math> กับ ''<math>Y''</math> ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือ'''[[ฟังก์ชันบางส่วน]]''' ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข
 
ดูตัวอย่างต่อไปนี้
 
[[ไฟล์:Multivalued function.svg]] สมาชิก <math>3</math> ใน ''<math>X''</math> สัมพันธ์กับ ''<math>b''</math> และ ''<math>c''</math> ใน ''<math>Y''</math> ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่''ไม่''เป็นฟังก์ชัน
 
[[ไฟล์:Partial function.svg]] สมาชิก 1 ใน ''<math>X''</math> ไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใดๆเลยใน ''<math>Y''</math> ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่''ไม่''เป็นฟังก์ชัน
 
[[ไฟล์:Total function.svg]] ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันจาก ''<math>X''</math> ไปยัง ''<math>Y''</math> เราสามารถหานิยามฟังก์ชันนี้อย่างชัดแจ้งได้เป็น ''<math>f=\{ (1,d) , (2,d) , (3,c) \}''</math> หรือเป็น
:<math>f (x) =\left\{\begin{matrix} d, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3. \end{matrix}\right.</math>