ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนธรรมชาติ"

→‎นิยามอย่างเป็นทางการ: เพิ่มการสร้างพื้นฐาน
(เพิ่มข้อมูลนิยาม)
(→‎นิยามอย่างเป็นทางการ: เพิ่มการสร้างพื้นฐาน)
*0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
*ทุกจำนวนธรรมชาติ ''a'' มีตัวตามหลัง เขียนแทนด้วย ''S''(''a'') จริงๆ แล้ว ''S''(''a'') คือ {{nowrap|''a'' + 1}}
*ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ตัวนำหน้าตามหลังเป็น 0
*''S'' เป็น [[ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง]] กล่าวคือจำนวนธรรมชาติที่ต่างกันมีตัวตามหลังที่ต่างกัน: ถ้า {{nowrap|''a'' ≠ ''b''}} แล้ว {{nowrap|''S''(''a'') ≠ ''S''(''b'')}}
*ถ้า 0 มีสมบัติอย่างหนึ่ง และ ตัวตามหลังของทุกๆ จำนวนนับที่มีสมบัตินั้น ก็มีสมบัตินั้น แล้วทุกจำนวนธรรมชาติจะมีสมบัตินั้น (สัจพจน์นี้ยืนยันว่าการพิสูจน์โดย[[การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์]]ถูกต้อง)
 
หมายเหตุ "0" ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป "0" หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามตรรกศาสตร์ชั้นต้น อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่า[[:en:Non-standard model of arithmetic |แบบจำลองเลขคณิตแบบไม่มาตรฐาน]] และยืนยันโดย[[:en:Löwenheim–Skolem_theorem#Upward_part|Upward Löwenheim-Skolem Theorem]] ชื่อ nbsp;"0" ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก "1" ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก "2" ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย 1 ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์ 0 ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ 1 สัญลักษณ์ ''S''(''0'') ถือเป็น number 2 ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรก''คือ'' 1
 
===การสร้างบนพื้นฐานทฤษฎีเซต===
====การสร้างมาตรฐาน====
การสร้างมาตรฐานในวิชา[[ทฤษฎีเซต]] เป็นกรณีพิเศษของการสร้าง[[:en:von Neumann ordinal |เรียงลำดับแบบวอน นิวมันน์]]<ref name="von Neumann1923pp199-208">{{Harvnb|Von Neumann|1923}}</ref> กำหนดนิยามของจำนวนธรรมชาติดังนี้:
:กำหนด 0 := {&nbsp;} เป็น[[เซตว่าง]]
:และนิยาม ''S''(''a'') = ''a'' ∪ {''a''} สำหรับทุกเซต ''a'' ''S''(''a'') คือตัวตามหลัง ''a'' และเรียก ''S'' ว่า [[ฟังก์ชันตัวตามหลัง]]
:โดย[[สัจพจน์ของอนันต์]] เซตของจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีอยู่ เซตนี้คืออินเตอร์เซกชันของทุกเซตที่มี&nbsp0 ที่มีสมบัติปิดภายใต้ฟังก์ชันตัวตามหลัง จึงสอดคล้อง[[สัจพจน์ของเปอาโน]]
:ทุกจำนวนธรรมชาติเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนนั้นๆ นั่นคือ
:*0 = {&nbsp;}
:*1 = {0} = {{&nbsp;}}
:*2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{&nbsp;}, {{&nbsp;}}}
:*3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} ={{&nbsp;}, {{&nbsp;}}, {{&nbsp;}, {{&nbsp;}}}}
:*''n'' = {0, 1, 2, ..., ''n''−2, ''n''−1} = {0, 1, 2, ..., ''n''−2,} ∪ {''n''−1} = {''n''−1} ∪ (''n''−1) = ''S''(''n''−1)
: ฯลฯ
 
== อ้างอิง ==