วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 182 ครั้ง
ไม่มีความย่อการแก้ไข
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 182 ครั้ง
บรรทัด 67:
โดยที่ {'''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub> ∧ '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>3</sub>} เป็นสมาชิกมูลฐานสำหรับปริภูมิสามมิติ Λ<sup>2</sup>('''R'''<sup>3</sup>) ค่าสัมประสิทธิ์ข้างต้นเหมือนกับค่าในนิยามตามปกติของ[[ผลคูณไขว้]]ของเวกเตอร์ในสามมิติ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือผลคูณภายนอกไม่ได้เป็นเวกเตอร์ธรรมดาหนึ่งเวกเตอร์ แต่มันเป็นวัตถุสองเวกเตอร์ (วัตถุหนึ่งที่ประกอบด้วยสองเวกเตอร์)
 
นำเวกเตอร์ตัวที่สามเข้ามา
Bringing in a third vector
 
:<math> \mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3, </math>
 
ผลคูณภายนอกของสามเวกเตอร์คือ
the exterior product of three vectors is
 
:<math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) </math>
 
whereโดยที่ '''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>3</sub> is the basis vector for theเป็นเวกเตอร์มูลฐานสำหรับปริภูมิ (one-dimensional space) Λ<sup>3</sup>('''R'''<sup>3</sup>). The scalar coefficient is the ค่าสัมประสิทธิ์สเกลาร์คือ[[triple productผลคูณสามเวกเตอร์]] of the three vectors.
 
เราสามารถแปลผลคูณไขว้และผลคูณสามเวกเตอร์ในสามมิติทั้งในเชิงเรขาคณิตและพีชคณิต เราแปลผลคูณไขว้ {{nowrap|1='''u''' × '''v'''}} ว่าเป็นเวกเตอร์หนึ่งซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ '''u''' และ '''v''' และขนาดของมันเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยทั้งสองเวกเตอร์ เรายังสามารถแปลว่ามันเป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วย[[ไมเนอร์]] (minors) ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์หลักแนวตั้ง '''u''' และ '''v''' ผลคูณสามเวกเตอร์ของ '''u''' '''v''' และ '''w''' ในเชิงเรขาคณิตคือปริมาตร(ที่มีเครื่องหมาย) ในเชิงพีชคณิต มันคือตัวกำหนดของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์หลักแนวตั้ง '''u''' '''v''' และ '''w''' เราสามารถแปลความหมายของผลคูณภายนอกในสามมิติในแบบเดียวกัน ความจริงแล้วการปรากฏตัวของ[[สมาชิกมูลฐานเชิงตั้งฉาก]]เชิงบวกของผลคูณภายนอกได้สรุปความคิดเหล่านี้ไว้ในฐานะเป็นมิติที่สูงขึ้น
The cross product and triple product in three dimensions each admit both geometric and algebraic interpretations. The cross product {{nowrap|1='''u''' × '''v'''}} can be interpreted as a vector which is perpendicular to both '''u''' and '''v''' and whose magnitude is equal to the area of the parallelogram determined by the two vectors. It can also be interpreted as the vector consisting of the [[minor (mathematics)|minors]] of the matrix with columns '''u''' and '''v'''. The triple product of '''u''', '''v''', and '''w''' is geometrically a (signed) volume. Algebraically, it is the determinant of the matrix with columns '''u''', '''v''', and '''w'''. The exterior product in three dimensions allows for similar interpretations. In fact, in the presence of a positively oriented [[orthonormal basis]], the exterior product generalizes these notions to higher dimensions.
 
==Formal definitions and algebraic properties==
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"