ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
บรรทัด 44:
# A('''v''','''v''') = 0 เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน[[ลดรูป]] (degenerate) ถูกกำหนดด้วยเวกเตอร์ '''v''' นั่นคือ[[ส่วนตัดเชิงเส้น]] (line segment) เป็นศูนย์
# A('''w''','''v''') = −A('''v''','''w''') เนื่องจากการสลับตำแหน่งของเวกเตอร์ '''v''' และ '''w''' กลับทิศทางของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
# A('''v''' + ''j'''''w''','''w''') = A('''v''','''w''') สำหรับจำนวนจริงใดๆ ''j'' เนื่องจากการบวกส่วนขยายของเวกเตอร์ '''w''' เข้ากับเวกเตอร์ '''v''' ไม่กระทบทั้งฐานและความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนานและดังนั้นพื้นที่ของมันคงที่
# A('''v''' + ''j'''''w''','''w''') = A('''v''','''w'''), for real ''j'', since adding a multiple of '''w''' to '''v''' affects neither the base nor the height of the parallelogram and consequently preserves its area.
# A('''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>) = 1, since the area of the unit square is one.
With the exception of the last property, the exterior product satisfies the same formal properties as the area. In a certain sense, the exterior product generalizes the final property by allowing the area of a parallelogram to be compared to that of any "standard" chosen parallelogram (here, the one with sides '''e'''<sub>1</sub> and '''e'''<sub>2</sub>). In other words, the exterior product in two dimensions provides a ''basis-independent'' formulation of area.<ref>This axiomatization of areas is due to [[Leopold Kronecker]] and [[Karl Weierstrass]]; see {{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Historical Note}}. For a modern treatment, see {{harvtxt|Mac Lane|Birkhoff|1999|loc=Theorem IX.2.2}}. For an elementary treatment, see {{harvtxt|Strang|1993|loc=Chapter 5}}.</ref>