วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 182 ครั้ง
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 182 ครั้ง
บรรทัด 38:
</math>
 
โดยขั้นตอนแรกใช้กฏการกระจายสำหรับ[[ผลคูณภายนอก]] และขั้นตอนสุดท้ายใช้คุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณภายนอกคือ {{nowrap|1='''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>1</sub> = −'''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub>}} สังเกตว่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์สุดท้ายคือตัวกำหนดของเมทริกซ์ {{nowrap|1=['''v''' '''w''']}} ข้อเท็จจริงที่ว่ามันอาจเป็นบวกหรือลบมีความหมายเป็นนัยว่า '''v''' และ '''w''' อาจมีทิศทวนเข็มหรือตามเข็มในฐานะจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่พวกมันกำหนด เราเรียกพื้นที่แบบนี้ว่า ''พื้นที่มีเครื่องหมาย'' ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน: ค่าสัมบูรณ์ของพื้นที่มีเครื่องหมายคือพื้นที่ธรรมดาและเครื่องหมายกำหนดทิศทางของมัน
where the first step uses the distributive law for the [[#Formal_definitions_and_algebraic_properties|exterior product]], and the last uses the fact that the exterior product is alternating, and in particular {{nowrap|1='''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>1</sub> = −'''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub>}}. Note that the coefficient in this last expression is precisely the determinant of the matrix {{nowrap|1=['''v''' '''w''']}}. The fact that this may be positive or negative has the intuitive meaning that '''v''' and '''w''' may be oriented in a counterclockwise or clockwise sense as the vertices of the parallelogram they define. Such an area is called the ''signed area'' of the parallelogram: the absolute value of the signed area is the ordinary area, and the sign determines its orientation.
 
The fact that this coefficient is the signed area is not an accident. In fact, it is relatively easy to see that the exterior product should be related to the signed area if one tries to axiomatize this area as an algebraic construct. In detail, if {{nowrap|1=A('''v''', '''w''')}} denotes the signed area of the parallelogram determined by the pair of vectors '''v''' and '''w''', then A must satisfy the following properties:
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"