ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"

ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''ผลลัพธ์ภายนอก''' หรือ '''ผลลัพธ์เวดจ์''' ของเวกเตอร์ คือโครงสร้างหนึ่งทางพีชคณิตที่เราใช้ใน[[เรขาคณิตแบบยูคลิด]]เพื่อที่จะศึกษา[[พื้นที่]], [[ปริมาตร]], และปริมาณอื่นๆ ที่มีมิติสูงกว่า ผลลัพธ์ภายนอกของสองเวกเตอร์ ''u'' และ ''v'' เขียนแทนด้วย ''u''&nbsp;∧&nbsp;''v'' เรียกว่า [[ไบเวกเตอร์]] และอยู่ในปริภูมิหนึ่งที่เราเรียกว่า''กำลังสองภายนอก'' (เอกซทีเรียร์สแควร์) ซึ่งเป็น[[ปริภูมิเวกเตอร์]]ทางเรขาคณิตที่แตกต่างจากปริภูมิตั้งต้นของเวกเตอร์ เราตีความ[[ขนาด]]<ref>Strictly speaking, the magnitude depends on some additional structure, namely that the vectors be in a [[Euclidean space]]. We do not generally assume that this structure is available, except where it is helpful to develop intuition on the subject.</ref> ของ ''u''&nbsp;∧&nbsp;''v'' ของผลลัพธ์เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเป็น ''u'' และ ''v'' ซึ่งเราคำนวณได้โดยการใช้[[ผลลัพธ์ครอสส์]]ของสองเวกเตอร์ในสามมิติ ผลลัพธ์ภายนอกมี[[สมบัติต่อต้านการสลับที่]]เหมือนกับผลลัพธ์ครอสส์ ซึ่งหมายความว่า {{nowrap|1=''u'' ∧ ''v'' = −(''v'' ∧ ''u'')}} สำหรับทุกเวกเตอร์ ''u'' และ ''v'' วิธีหนึ่งที่จะจินตนาการถึงไบเวกเตอร์คือกลุ่มของ[[สี่เหลี่ยมด้านขนาน]]ซึ่งทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน มีพื้นที่เหมือนกัน และมี[[ทิศทาง]]ของขอบเขตเหมือนกัน โดยที่อาจมีทิศทางตามเข็ม หรือ ทวนเข็มก็ได้

 

 

 

In a precise sense, given by what is known as a [[universal property|universal construction]], the exterior algebra is the ''largest'' algebra that supports an alternating product on vectors, and can be easily defined in terms of other known objects such as [[tensor]]s. The definition of the exterior algebra makes sense for spaces not just of geometric vectors, but of other vector-like objects such as [[vector field]]s or [[function (mathematics)|functions]]. In full generality, the exterior algebra can be defined for [[module (mathematics)|modules]] over a [[commutative ring]], and for other structures of interest in [[abstract algebra]]. It is one of these more general constructions where the exterior algebra finds one of its most important applications, where it appears as the algebra of [[differential forms]] that is fundamental in areas that use [[differential geometry]]. Differential forms are mathematical objects that represent [[infinitesimal]] areas of infinitesimal parallelograms (and higher-dimensional bodies), and so can be [[integral|integrated]] over surfaces and higher dimensional [[manifold]]s in a way that generalizes the [[line integral]]s from calculus. The exterior algebra also has many algebraic properties that make it a convenient tool in algebra itself. The association of the exterior algebra to a vector space is a type of [[functor]] on vector spaces, which means that it is compatible in a certain way with linear transformations of vector spaces. The exterior algebra is one example of a [[bialgebra]], meaning that its [[dual space]] also possesses a product, and this dual product is compatible with the exterior product. This dual algebra is precisely the algebra of [[alternating multilinear form]]s on&nbsp;''V'', and the pairing between the exterior algebra and its dual is given by the [[interior product]].