ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ควอเทอร์เนียน"

ควอเทอร์เนียน เป็น[[จำนวน]]ที่เขียนได้ในรูป w+ix+jy+kz โดยที่ w, x, y และ z เป็นจำนวนจริง และ i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = k = -ji ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่

ควอเทอร์เนียน '''H''' คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง ('''R'''⁴) [[การดำเนินการทางคณิตศาสตร์]]ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ '''R'''⁴ และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน '''R'''⁴ ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ '''R'''⁴ ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, ''i'', ''j'' และ ''k'' ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน '''H''' ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูป[[ผลรวมเชิงเส้น]] (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน ''a''1 + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ ''a'', ''b'', ''c'' และ ''d'' เป็นจำนวนจริง และมี 1, ''i'', ''j'' และ ''k'' เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฎการกระจาย

: <math>\begin{alignat}{2}

สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน ''a''₁ + ''b''₁''i'' + ''c''₁''j'' + ''d''₁''k'' และ ''a''₂ + ''b''₂''i'' + ''c''₂''j'' + ''d''₂''k'' ผลคูณฮามิลตัน (''a''₁ + ''b''₁''i'' + ''c''₁''j'' + ''d''₁''k'')(''a''₂ + ''b''₂''i'' + ''c''₂''j'' + ''d''₂''k'') สามารถหาได้โดยการใช้คุณสมบัติการกระจาย จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้

: <math>a_1a_2 + a_1b_2i + a_1c_2j + a_1d_2k + b_1a_2i + b_1b_2i^2 + b_1c_2ij + b_1d_2ik + c_1a_2j + c_1b_2ji + c_1c_2j^2 + c_1d_2jk + d_1a_2k + d_1b_2ki + d_1c_2kj + d_1d_2k^2</math>

: <math>(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j + (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k</math>