ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การหารด้วยศูนย์"

เก็บกวาด
(r2.7.3rc2) (โรบอต เพิ่ม: no:Divisjon med null)
(เก็บกวาด)
 
เริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ว่า
:: <math>0\times 1 = 0</math>
:: <math>0\times 2 = 0</math>
ดังนั้นสมการต่อไปนี้ต้องเป็นจริง
:: <math>0\times 1 = 0\times 2</math>
จากนั้นนำศูนย์ไปหารทั้งสองข้างของสมการ
:: <math>\textstyle \frac{0}{0}\times 1 = \frac{0}{0}\times 2</math>
ตัดทอนผลลัพธ์สุดท้าย จะได้
:: <math>1 = 2\,</math>
[[เหตุผลวิบัติ]] (fallacy) อยู่ที่การตั้งสมมติฐานที่ไม่สมบูรณ์ ว่าการหารด้วยศูนย์ทำให้ <math>\textstyle\frac{0}{0}</math> เท่ากับ 1
 
คนทั่วไปอาจรับรู้ได้ง่ายว่าการพิสูจน์ข้างต้นนั้นไม่สมเหตุสมผล สำหรับความขัดแย้งเดียวกันนี้สามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบอื่นซึ่งทำให้ยากขึ้นต่อการชี้จุดข้อผิดพลาด ดังเช่นตัวอย่างนี้ ถ้าเปลี่ยน 1 ให้เป็น ''x'' แล้วค่าของ 0 จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ ''x'' - ''x'' และค่าของ 2 ก็จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ ''x'' + ''x'' จากตัวอย่างด้านบนจึงสามารถเขียนให้อยู่ในอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้
:: <math> (x-x) x = x^2-x^2 = 0\,</math>
:: <math> (x-x) (x+x) = x^2-x^2 = 0\,</math>
ดังนั้น
:: <math> (x-x) x = (x-x) (x+x) \,</math>
หารด้วย <math>x-x\,</math> ทั้งสองข้างของสมการ
:: <math>x = x+x\,</math>
จากนั้นหารด้วย <math>x\,</math> ทั้งสองข้าง จะได้
:: <math>1 = 2\,</math>
 
=== พีชคณิตนามธรรม ===
 
สำหรับค่า ''a'' ที่เป็นบวก จะได้ว่า
:: <math>\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty</math>
และสำหรับค่า ''a'' ที่เป็นลบ จะได้ว่า
:: <math>\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {-}\infty</math>
 
ดังนั้น เราอาจนิยามให้ <math>\textstyle\frac{a}{0}</math> มีค่าเป็น +∞ เมื่อ ''a'' เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น −∞ เมื่อ ''a'' เป็นจำนวนลบ อย่างไรก็ตามการนิยามนี้อาจทำให้เกิดความยุ่งยากด้วยเหตุผลสองประการ
# [[อนันต์]]ที่เป็นบวกและลบไม่ใช่[[จำนวนจริง]] ดังนั้นถ้าหากเราต้องการคงเหลือบริบทไว้ให้เป็นจำนวนจริง เราจะต้องไม่นิยามอะไรที่มีความหมายพิเศษมากไปกว่าจำนวนจริง และถ้าหากต้องการใช้นิยามดังกล่าว เราจะต้อง ''ขยายเส้นจำนวนจริงออกไป''
# การหาลิมิตทางขวาเพียงอย่างเดียวเป็นการเลือกโดยไม่มีกฎเกณฑ์ เราอาจสามารถหาลิมิตทางซ้ายและได้นิยามของ <math>\textstyle\frac{a}{0}</math> มีค่าเป็น −∞ เมื่อ ''a'' เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น +∞ เมื่อ ''a'' เป็นจำนวนลบ (สลับกัน) ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นโดยใช้สมการดังนี้ (สมมติว่าเส้นจำนวนจริงได้ถูกขยายออกไปถึงอนันต์แล้ว)
:: <math>+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty</math>
: ซึ่งไม่ค่อยสมเหตุสมผล กลายเป็นว่า <math>\textstyle\frac{a}{0}</math> สามารถเป็นบวกและลบได้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นการขยายที่ควรใช้มีเพียง ''อนันต์ที่ไม่มีเครื่องหมาย'' เท่านั้น
 
นอกเหนือไปจากนั้น นิยามของ <math>\textstyle\frac{0}{0}</math> ไม่สามารถกำหนดได้โดยการหาลิมิตบนเศษส่วน เนื่องจากลิมิต
:: <math> \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b} </math>
นั้นไม่มีคำตอบ ส่วนลิมิตที่อยู่ในรูปแบบ
:: <math> \lim_{x \to 0} {f (x) \over g (x)} </math>
ในกรณีที่เมื่อ ''x'' มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้วทำให้ทั้ง ''f (x) '' และ ''g (x) '' มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ คำตอบของลิมิตอาจจะลู่เข้าไปยังค่าใดค่าหนึ่ง หรือไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ (โดยใช้[[หลักเกณฑ์โลปีตาล]]ช่วยคำนวณ) ซึ่งแนวความคิดนี้ก็ยังไม่สามารถนำไปสู่การนิยาม <math>\textstyle\frac{0}{0}</math> ได้อยู่ดี (เพราะมีหลายคำตอบ)
 
== การแปลความหมายแบบรูปนัย ==
[[การคำนวณแบบรูปนัย]] (formal calculation) เป็นตัวอย่างหนึ่งที่นำมาอธิบายการคำนวณในกฎเกณฑ์ทางเลขคณิต โดยไม่มีการพิจารณาว่าผลลัพธ์จากการคำนวณจะถูกนิยามไว้แล้วเป็นอย่างดีหรือไม่ ดังนั้นการกำหนดให้ <math>\textstyle\frac{a}{0}</math> มีค่าเป็น ∞ เมื่อ ''a'' มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ เป็น[[กฎเกณฑ์อย่างหยาบ]] (rule of thumb) ในบางครั้งก็อาจมีประโยชน์ ซึ่งค่าอนันต์นี้จะสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ หรือไม่มีเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับบริบทที่แวดล้อม ดังตัวอย่างนี้เป็นการคำนวณแบบรูปนัย
:: <math>\lim\limits_{x \to 0} {\frac{1}{x^2} =\frac{\lim\limits_{x \to 0} {1}}{\lim\limits_{x \to 0} {x^2}}} = \frac{1}{+0} = +\infty</math>
ซึ่งจะเกิดผลลัพธ์ที่ไม่น่ายอมรับแต่ก็สามารถนำไปใช้ได้ เช่นเดียวกับการคำนวณแบบรูปนัยอื่นๆ สำหรับความถูกต้องตามตรรกะซึ่งตรงข้ามกับแบบรูปนัยอาจจะกล่าวเพียงว่า
:: <math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty</math>
(+∞ ไม่ใช่จำนวน แต่เป็นวัตถุอย่างหนึ่งที่นำแนวคิดไปสู่เส้นจำนวนจริง คล้ายกับแนวคิดที่ว่า เซตของจุดเป็นสมาชิกของการยุบขนาดมิติ (compactification) บนส่วนของเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดสองจุด ใน[[ทอพอโลยี]])
 
138,643

การแก้ไข