ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ลำดับเลขคณิต"

เก็บกวาด
(โรบอต: แก้คำผิด)
(เก็บกวาด)
 
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ ''a''<sub>1</sub> และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ ''d'' ดังนั้นพจน์ที่ ''n'' ของลำดับนี้คือ
:: <math>a_n = a_1 + (n - 1)d\,\!</math>
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
:: <math>a_n = a_m + (n - m)d\,\!</math>
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบ[[ความสัมพันธ์เวียนเกิด]]
:: <math>a_n = a_{n-1} + d\,\!</math>
 
== ผลรวม ==
[[ผลรวม]]ของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า '''อนุกรมเลขคณิต''' ({{lang-en|arithmetic series}}) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่
:: <math>S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)</math>
:: <math>S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n</math>
 
รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ ''d'' จะหายไป และเหลือเพียง
:: <math>2S_n=n(a_1+a_n)\,\!</math>
 
จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า <math>a_n = a_1 + (n-1)d</math> ดังนั้นเราจะได้
:: <math>S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}</math>
 
มีเรื่องเล่ากันว่า[[คาร์ล ฟรีดริช เกาส์|เกาส์]]ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของจำนวน 1 ถึง 100 และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050{{อ้างอิง}}
== ผลคูณ ==
[[ผลคูณ]]ของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ ''a''<sub>1</sub> ไปถึง ''a''<sub>''n''</sub> ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ ''d'' สามารถคำนวณได้จาก
:: <math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) }</math>
 
โดยที่สัญลักษณ์ <math>x^{\overline{n}}</math> หมายถึง[[ผลคูณลำดับเพิ่ม]] (rising sequential product) และ <math>\Gamma (x)</math> แทน[[ฟังก์ชันแกมมา]] อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ {{nowrap|<math>a_1/d</math>}} เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์
 
นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × ''n'' ที่ได้นิยามไว้แล้วใน[[แฟกทอเรียล]] ''n''! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้
:: <math>m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!</math>
จะมีค่าเท่ากับ
:: <math>\frac{n!}{(m-1)!}</math>
โดยที่ ''m'' และ ''n'' เป็น[[จำนวนเต็ม]]บวก
 
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
* {{cite book
| title = Fibonacci's Liber Abaci
| author = Sigler, Laurence E. (trans.)
138,643

การแก้ไข