ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ควอเทอร์เนียน"

ควอเทอร์เนียน '''H''' คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง ('''R'''⁴) [[การดำเนินการทางคณิตศาสตร์]]ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ '''R'''⁴ และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน '''R'''⁴ ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ '''R'''⁴ ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, ''i'', ''j'' และ ''k'' ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน '''H''' ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูป[[ผลรวมเชิงเส้น]] (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน ''a''1 + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ ''a'', ''b'', ''c'' และ ''d'' เป็นจำนวนจริง และมี 1, ''i'', ''j'' และ ''k'' เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฏกฎการกระจาย

สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพท์ผลลัพธ์ ดังนี้