ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ล r2.7.1) (โรบอต แก้ไข: ka:კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემები |
ล สังคายนาวิกิพีเดียไทย ๒ +เก็บกวาด |
||
บรรทัด 1:
{{แคลคูลัส}}
'''ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส''' กล่าวว่า[[อนุพันธ์]] และ[[ปริพันธ์]] ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักใน[[แคลคูลัส]]นั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]][[ต่อเนื่อง]]ใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้[[ปฏิยานุพันธ์]] ของฟังก์ชัน
== ภาพโดยทั่วไป ==
โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่นๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม
เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน ''x''(''t'') เมื่อ ''t'' คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆของ ''x'' ต่อช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว ''v'' ของอนุภาค ด้วย[[สัญกรณ์ของไลบ์นิซ]]
:<math>\frac{dx}{dt} = v(t) </math>
เส้น 21 ⟶ 13:
:<math>dx = v(t)\,dt </math>
จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน ''x'' ที่เรียกว่า <math>\Delta x</math> คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆ ''dx'' มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ
ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้▼
▲เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้
== เนื้อหาของทฤษฎีบท ==
เส้น 142 ⟶ 132:
:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)] \qquad (2)</math>
สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจาก[[ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย]] สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า <math>\Delta x_i</math> ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ <math>i</math> หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม <math>n</math> รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ <math>n</math> มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง▼
▲เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ <math>n</math> มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง
โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้
ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้
เส้น 192 ⟶ 178:
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
{{เริ่มอ้างอิง}}
* Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In ''Calculus: early transcendentals''. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
* Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. ''Calculus of a single variable''. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
* Leithold, L. (1996). ''The calculus 7 of a single variable''. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
{{จบอ้างอิง}}
[[หมวดหมู่:แคลคูลัส]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]
{{Link GA|de}}
| |||