ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การแปลงลาปลัส"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ล r2.7.2) (โรบอต เพิ่ม: ml:ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം; ปรับแต่งให้อ่านง่าย |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 2:
การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับ[[การแปลงฟูรีเย]] แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน
== คุณสมบัติ ==
กำหนดให้ ''f''(''t'') และ ''g''(''t'') มีผลการแปลงลาปลาสเป็น ''F''(''s'') และ ''G''(''s'') ตามลำดับ:
: <math> f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} </math>
: <math> g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} </math>
ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):<ref>{{harv|Korn|Korn|1967|pp=226–227}}</ref>
{| class="wikitable"
|+ '''คุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว'''
!
! โดเมนเวลา
! โดเมน 's'
! หมายเหตุ
|-
! [[ภาวะเชิงเส้น]]
| <math> a f(t) + b g(t) \ </math>
| <math> a F(s) + b G(s) \ </math>
| สามารถพิจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของอินทิเกรท
|-
! [[อนุพันธ์เชิงความถี่|อนุพันธ์เชิงความถี่]] (Frequency differentiation)
| <math> t f(t) \ </math>
| <math> -F'(s) \ </math>
| <math>F'\,</math> เป็นอนุพันธอันดับแรกของ <math>F\,</math>.
|-
! [[อนุพันธ์เชิงความถี่|อนุพันธ์เชิงความถี่]] (Frequency differentiation)
| <math> t^{n} f(t) \ </math>
| <math> (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ </math>
| รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ ''n''<sup>th</sup> ของ F(s)
|-
! [[อนุพันธ]] (Differentiation)
| <math> f'(t) \ </math>
| <math> s F(s) - f(0) \ </math>
| สมมุติให้ ''ƒ'' เป็นฟังก์ชั่นที่อนุพันธได้ (differentiable function)
|-
! อนุพันธอันดับสอง (Differentiation)
| <math> f''(t) \ </math>
| <math> s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ </math>
| สมมุติให้ ''ƒ'' มีอนุพันธอันดับสอง
|-
! อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation)
| <math> f^{(n)}(t) \ </math>
| <math> s^n F(s) - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0) \ </math>
| สมมุติให้ ''ƒ'' มีอนุพันธอันดับ ''n'' ใดๆ
|-
! [[ปริพันธ์เชิงความถี่]] (Frequency integration)
| <math> \frac{f(t)}{t} \ </math>
| <math> \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ </math>
|
|-
! [[ปริพันธ์]] Integration
| <math> \int_0^t f(\tau)\, d\tau = (u * f)(t)</math>
| <math> {1 \over s} F(s) </math>
| <math>u(t)</math> คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ <math>(u * f)(t)</math> คือสังวัตนาการ (convolution) ของ <math>u(t) </math> และ <math>f(t)</math>
|-
! ขยายเชิงเวลา (Time scaling)
| <math> f(at) \ </math>
| <math> \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )</math>
|
|-
! การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting)
| <math> e^{at} f(t) \ </math>
| <math> F(s - a) \ </math>
|
|-
! การเลื่ออนเชิงเวลา (Time shifting)
| <math> f(t - a) u(t - a) \ </math>
| <math> e^{-as} F(s) \ </math>
| <math>u(t)</math> คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function)
|-
! [[การคูณ]] (Multiplication)
| <math> f(t) g(t) \ </math>
| <math> \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ </math>
| การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง <math>Re(\sigma)=c</math> ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ ''F''<ref>{{harvnb|Bracewell|2000|loc=Table 14.1, p. 385}}</ref>
|-
! [[สังวัตนาการ]] (Convolution)
| <math> (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau</math>
| <math> F(s) \cdot G(s) \ </math>
| ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ''ƒ''(''t'') และ ''g''(''t'') มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ ''t'' < 0
|-
! [[คอนจูเกตเชิงซ้อน]]Complex conjugation
| <math> f^*(t) </math>
| <math> F^*(s^*) </math>
|
|-
! [[สหสัมพันธ์ไขว้]] (Cross-correlation)
| <math> f(t)\star g(t) </math>
| <math> F^*(-s^*)\cdot G(s) </math>
|
|-
! [[ฟังก์ชันคาบ]] (Periodic Function)
| <math> f(t) \ </math>
| <math>{1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt </math>
| <math>f(t)</math> เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ <math>T</math> กล่าวคือ <math>f(t) = f(t + T), \; \forall t\ge 0</math> เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต
|}
== เชิงอรรถ ==
| |||