ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ลไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 2:
'''อัลกอริทึมแบบสุ่ม''' (randomized algorithm) เป็น[[อัลกอริทึม]]ที่ยอมให้มีการโยนเหรียญได้ ในทางปฏิบัติ เครื่องที่ใช้ทำงานอัลกอริทึมนี้ จะต้องใช้[[ตัวสร้างเลขสุ่มเทียม]] (pseudo-random number generator) ในการสร้าง[[ตัวเลขสุ่ม]]ขึ้นมา อัลกอรึทึมโดยทั่วๆไปมักใช้[[บิทสุ่ม]] (random bit) สำหรับเป็นอินพุตเสริม เพื่อชี้นำการกระทำของมันต่อไป โดยมีความหวังว่าจะช่วยให้มีประสิทธิภาพที่ดีใน "กรณีส่วนมาก(average case)" หรือหากพูดในทาง[[คณิตศาสตร์]]ก็คือ ประสิทธิภาพของอัลกอริทึมมีค่าเท่ากับ[[ตัวแปรสุ่ม]] (random variable) ซึ่งคำนวณจากบิทสุ่ม โดยหวังว่าจะมี[[ค่าคาดหวัง]] (expected value) ที่ดี กรณีที่แย่มากที่สุดมักจะมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมากจนแทบจะไม่ต้องสนใจ
ลองจินตนาการว่าเราจะต้องเผชิญหน้ากับ "ผู้ประสงค์ร้าย" ที่เก่งกาจอย่างคาดไม่ถึง กล่าวคือ คนๆนี้สามารถล่วงรู้วิธีการในการจัดการกับปัญหาของอัลกอริทึม และสามารถหาอินพุทที่แย่ที่สุดมาทำให้อัลกอริทึมทำงานได้ประสิทธิภาพไม่ดีได้เสมอ (ดู[[การวิเคราะห์เชิงแข่งขัน]]) อย่างไรก็ตามผู้ประสงค์ร้ายคนนี้จะสามารถทำร้ายอัลกอริทึมของเราได้น้อยลง หากอัลกอริทึมไม่ได้มีพฤติกรรมที่แน่นอน (ทำให้ผู้ประสงค์ร้ายไม่สามารถเดาได้ถูก) ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้เองที่ทำให้ [[การสุ่ม]] เป็นที่แพร่หลายใน[[วิทยาการเข้ารหัสลับ]] ในงานประยุกต์ทางด้านการเข้ารหัสลับนั้น ตัวเลขสุ่มเทียมไม่สามารถนำมาใช้ได้ เนื่องจากผู้ประสงค์ร้ายสามารถทายเลขนี้ได้ ทำให้อัลกอริทึมมีลักษณะเป็นแบบดิเทอร์มินิสติกดีๆเท่านั้นเอง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีแหล่งกำเนิดที่สามารถสร้างเลขสุ่มที่แท้จริงได้ หรือไม่ก็ต้องมี''ตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมที่มีความปลอดภัยในการเข้ารหัสลับ'' อีกศาสตร์หนึ่งที่การสุ่มได้หยั่งรากฝังลึกเข้าไปคือ[[คอมพิวเตอร์ควอนตัม]] (quantum computer)
บรรทัด 8:
ในตัวอย่างที่กล่าวมานี้ อัลกอริทึมแบบสุ่มให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอ เพียงแต่ว่ามีความเป็นไปได้อยู่บ้าง ที่อัลกอริทึมจะใช้เวลานานในการทำงาน บางครั้งเราอาจต้องการอัลกอริทึมที่ทำงานได้เร็วในทุกๆสถานการณ์ แต่เราก็ต้องแลกด้วย''โอกาสเกิดความผิดพลาด'' อัลกอริทึมประเภทแรก(ถูกต้องเสมอ แต่อาจใช้เวลานาน)เรียกว่า[[อัลกอริทึมลาสเวกัส]] และแบบหลัง(ต้องทำงานเร็ว แต่มีข้อผิดพลาดได้)เรียกว่า[[อัลกอริทึมมอนติคาร์โล]] (ตามชื่อของ[[วิธีมอนติคาร์โล]]ที่ใช้ในการจำลอง (simulation)) สังเกตว่าอัลกอริทึมลาสเวกัสทุกอันสามารถแปลงเป็นอัลกอริทึมมอนติคาร์โลได้ โดยการตอบออกไปมั่วๆ หากไม่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาที่กำหนด
[[ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ]]ซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับทรัพยากรทางการคำนวณที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาหนึ่งๆ ได้สร้างแบบจำลองของอัลกอริทึมแบบสุ่มให้เป็น''[[เครื่องจักรทัวริง]][[เครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น|เชิงความน่าจะเป็น]]'' ทั้งอัลกอริทึมลาสเวกัสและมอนติคาร์โลได้ถูกนำมาพิจารณา รวมถึง "คลาสของความซับซ้อน" หลายๆคลาสก็ได้ถูกนำมาศึกษา คลาสของความซับซ้อนแบบสุ่มแบบที่เป็นพื้นฐานที่สุดคือแบบ[[อาร์พี]] ซึ่งเป็นคลาสของ[[ปัญหาการตัดสินใจ]]ที่มีอัลกอริทึมแบบสุ่ม (หรือเครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น) ที่มีประสิทธิภาพ (ทำงานได้ได้ในเวลาโพลิโนเมียล) ที่สามารถตอบว่า "ไม่" ได้ถูกต้องเสมอ และสามารถตอบว่า "ใช่" ได้ โดยมีโอกาสถูกต้องอย่างน้อย 1/2 คลาสส่วนกลับ (complement) ได้แก่โค-อาร์พี และคลาสของปัญหาซึ่งทั้งคำตอบ "ใช่" และ "ไม่" สามารถมีค่าความน่าจะเป็นได้ทั้งคู่ (นั่นคือ ไม่ได้บังคับให้ต้องตอบถูกต้องเสมอ) เรียกว่า[[ซีพีพี]](ZPP) สำหรับปัญหาซึ่ง(เชื่อกันว่า)อยู่นอกคลาสนี้ เช่นปัญหา[[เอ็นพีแบบยาก]] (ซึ่งแม้แต่อัลกอริทึมแบบสุ่มก็ไม่สามารถแก้ได้) จำเป็นต้องแก้ด้วย[[อัลกอริทึมแบบประมาณ]]
ใน
การตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะมิลเลอร์-ราบินนั้น มีหลักการพื้นฐานอยู่บนความสัมพันธ์ทวิภาค ระหว่างจำนวนเต็มบวกสองตัว k และ n ใดๆ ที่สามารถบอกได้ว่า ''k'' "เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ" ''n'' เราสามารถแสดงได้ว่า
* ถ้ามีตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ ''n'' แล้ว ''n'' เป็นจำนวนประกอบ (หมายความว่า ''n'' ไม่เป็น[[จำนวนเฉพาะ]]) และ
* ถ้า ''n'' เป็นจำนวนประกอบแล้ว มีอย่างน้อยสามในสี่ของจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่า ''n'' ที่เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ ''n'' ได้ และ
* มีอัลกอริทึมที่ทำงานได้รวดเร็วพอ ที่เมื่อให้ค่า ''k'' และค่า ''n'' อัลกอริทึมสามารถบอกได้ว่า ''k'' เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ ''n'' หรือไม่
สังเกตว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้ทำให้สรุปได้ว่าปัญหาการทดสอบการเป็นจำนวนเฉพาะอยู่ในโค-อาร์พี
สมมุติ ''n'' เป็นจำนวนประกอบ ถ้าเราเลือกตัวเลขที่น้อยกว่า ''n'' มี 100 ตัว ความน่าจะเป็นที่จะหา "ตัวยืนยัน" ดัง
ดังนั้น ในทางปฏิบัติแล้ว จึงมักไม่ค่อยมีใครสนใจกับโอกาสเกิดความผิดพลาดที่มีเล็กน้อยนี้สักเท่าไร เพราะเราสามารถทำให้มันน้อยลงเท่าไรก็ได้ตามใจปรารถนา ที่จริงแล้ว ถึงแม้ว่าเราจะ[[การทดสอบการเป็นจำนวนเฉพาะของ AKS|มี]]อัลกอริทึมในการตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะแบบดิเทอร์มินิสติกที่สามารถทำงานได้ในเวลาโพลิโนเมียลแล้ว มันก็ยังไม่ได้ถูกนำไปใช้แทนวิธีเชิงความน่าจะเป็นแบบเดิมใน[[ซอฟต์แวร์]][[วิทยาการเข้ารหัสลับ|ด้านการเข้ารหัสลับ]] และก็ยังไม่มีใครคิดว่าจะเป็นเช่นนั้นได้ในอนาคตอันใกล้นี้ด้วย
สมมุติว่าเราใช้วิธีเชิงสุ่ม แล้วมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดความผิดพลาดเป็น 2<sup>
[[ควิกซอร์ต]] น่าจะเป็นอัลกอริทึมที่ใช้จริงที่เราคุ้นเคยที่สุดที่ใช้การสุ่มอย่างได้ผลดีมากๆ อัลกอริทึมนี้ในแบบที่เป็นดิเทอร์มินิสติกต้องใช้เวลา ''[[สัญกรณ์ Big O|O]](n^2)'' ในการเรียงเลข ''n'' ตัว สำหรับอินพุทบางรูปแบบ เช่น อาร์เรย์ที่ถูกเรียงมาอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม ถ้าอัลกอริทึมสลับตัวในอาร์เรย์แบบสุ่มก่อนที่จะเริ่มทำงาน มันจะมีความน่าจะเป็นสูงที่จะทำงานเสร็จในเวลา ''O(n log n)'' สำหรับอินพุททุกรูปแบบ ความแตกต่างระหว่างสองแบบนี้จะมีความสำคัญมาก เมื่อเราต้องจัดเรียงข้อมูลจำนวนมากๆ
บรรทัด 30:
ตราบใดที่ G ยังมี[[โหนด]]มากกว่า 2 โหนด ให้ทำ{
สุ่มเลือก[[เส้นเชื่อม]] (u,v) จาก G
หด (contract) เส้นเชื่อม โดยให้รักษาการมีเส้นเชื่อมหลายเส้น (multi-edge)เอาไว้
ลบ[[ลูป]]ทั้งหมดออก
}
|