ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สัจพจน์"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ลไม่มีความย่อการแก้ไข |
|||
บรรทัด 39:
:# สิ่งที่เป็นสิ่งเดียวกันย่อมเท่ากัน
:# ผลรวมของส่วนย่อยย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อยนั้นๆ
== คณิตตรรกศาสตร์ ==
ในสาขา[[คณิตตรรกศาสตร์]]มีการแยกสัจพจน์ออกเป็นสองรูปได้แก่ "สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ" และ "สัจพจน์ที่ไม่เป็นตรรกะ" ซึ่งคล้ายคลึงกับการแยก "สัจพจน์" กับ "มูลบท" ในสมัยก่อนตามลำดับ
===สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ===
ใน[[ภาษารูปนัย]]มี[[สูตรเชิงตรรกะ]]ตายตัวที่ถือว่า[[สมเหตุสมผล]]โดยสากล (Universally Valid) สูตรนี้จะ[[สอดคล้อง]]กับค่าความจริงทุกค่า โดยปกติแล้วการกำหนดสัจพจน์ที่เป็นตรรกะจะกำหนดให้มีจำนวนน้อยที่สุดที่เพียงพอที่จะพิสูจน์[[สัจนิรันดร์]]ในภาษาทั้งหมดได้ ยกเว้นแต่[[ตรรกะภาคแสดง]](predicate logic) จะมีการเพิ่มสัจพจน์มากกว่าที่จำเป็น เพื่อพิสูจน์ค่าความจริงของประโยคที่ไม่เป็นสัจนิรันดร์ภายใต้เงื่อนไขที่รัดกุม
====ตัวอย่าง====
=====ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์=====
ใน[[ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์]] โดยปกติแล้วจะมี[[สูตรเชิงตรรกะ]]ที่กำหนดให้เป็นสัจพจน์ดังนี้ เมื่อให้ <math>\phi</math>, <math>\chi</math>, and <math>\psi</math> เป็น[[สูตรเชิงตรรกะ]]ใดๆ ในภาษารูปนัย ภายใต้[[ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์]]เพียงสองอันได้แก่ "<math>\neg</math>" [[นิเสธ]]ของประพจน์ และ "<math>\to\,</math>" [[การสรุปโดยนัย]]ประพจน์จากเหตุไปสู่ผล:
#<math>\phi \to (\psi \to \phi)</math>
#<math>(\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi))</math>
#<math>(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi).</math>
แต่ละรูปแบบล้วนเป็น ''[[เค้าร่างสัจพจน์]]''(Axiom Schema) ซึ่งสามารถผลิตสัจพจน์อื่นได้จำนวนไม่จำกัด ยกตัวอย่างเช่นให้ <math>A</math>, <math>B</math> <math>C</math> แทน [[ตัวแปรเชิงประพจน์]] ใดๆ <math>A \to (B \to A)</math> และ <math>(A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B))</math> ก็ล้วนแต่เป็นผลมาจากเค้าร่างสัจพจน์ที่ 1 ดังนั้นจึงประโยคทั้งสองจึงเป็นสัจพจน์ไปด้วย
เค้าร่างสัจพจน์ทั้งสามเมื่อรวมกับ ''[[modus ponens]]'' นั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ทั้งหมดได้ แต่การหยิบแค่สองเค้าร่างนั้นไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมด จำนวนของสัจพจน์ของตรรกเชิงประพจน์ดังกล่าวจึงน้อยที่สุดแล้วที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดได้ นอกจากนั้นแล้ว เรายังสามารถสร้างเค้าร่างสัจพจน์อื่นๆ ภายใต้[[ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์]]ได้อย่างอิสระจากเค้าร่างสัจพจน์ดังกล่าว <ref>Mendelson, "6. Other Axiomatizations" of Ch. 1</ref> และเค้าร่างสัจพจน์นี้ยังใช้ใน[[ตรรกศาสตร์ภาคแสดง]]แต่ต้องเพิ่มสัจพจน์ที่เป็นตรรกะอื่นๆ ลงไป เช่นสัจพจน์ของ[[ตัวบ่งปริมาณ]] เป็นต้น<ref>Mendelson, "3. First-Order Theories" of Ch. 2</ref>
== อ้างอิง ==
<references />
[[หมวดหมู่:สัจพจน์ทางคณิตศาสตร์]]
| |||