ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนสมบูรณ์"

จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นถูกค้นพบโดยชาว[[กรีกโบราณ]]

 

 

[[ยุคลิด]]ได้ค้นพบว่า จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นสามารถหาโดยใช้สูตร 2^''n''−1(2^''n'' − 1) ได้

 

นักคณิตศาสตร์สมัยก่อน ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์จากจำนวนสมบูรณ์ที่เขารู้เพียง 4 ตัว ซึ่งสมมติฐานที่เขาได้ตั้งส่วนใหญ่จะผิด เช่น สมมติฐานที่ว่า เพราะว่า ''n'' = 2, 3, 5, 7 เป็นจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรก ที่นำไปแทนในสูตรแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์ ดังนั้น ''n'' = 11 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 5 จะทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น สมมติฐานนี้จึงผิด '''สมมติฐานที่ผิด'''อีกสองข้อ ได้แก่

 

จำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า (<math>33550336=2^{12}(2^{13}-1)</math>) มี 8 หลัก ดังนั้นสมมติฐานข้อแรกจึงผิด. สำหรับสมมติฐานข้อสองนั้น แม้ว่าจำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า จะลงท้ายด้วยเลข 6 แต่จำนวนสมบูรณ์ตัวที่หก (8&nbsp;589&nbsp;869&nbsp;056) ไม่ได้ลงท้ายด้วยเลข 8 สมมติฐานข้อสองจึงผิด. เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนสมบูรณ์จะมีเลขหลักสุดท้ายเป็น 6 หรือ 8 เสมอ (แต่ไม่จำเป็นต้องสลับกัน)

 

คุณสมบัติของจำนวนสมบูรณ์อันหนึ่งที่น่าสนใจก็คือ [[ส่วนกลับ]]ของตัวประกอบของจำนวนสมบูรณ์ จะรวมกันได้ 2 เสมอ เช่น

 

 

ยังไม่มีใครรู้ว่าจำนวนสมบูรณ์คี่นั้นมีอยู่จริงหรือไม่ เมื่อไม่นานมานี้ [[Carl Pomerance]] และ [[Joshua Zelinsky]] ได้แสดง[[ฮิวริสติก]]ว่าไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่จริง

* ''N'' จะอยู่ในรูป

::<math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k}, </math>

* ''N'' จะมากกว่า 10³⁰⁰

* ''N'' จะอยู่ในรูป 4''j'' + 1 (A. Stern, 1896)

* ''N'' จะอยู่ในรูป 12''j'' + 1 หริอ 36''j'' + 9 ([[Jacques Touchard]]) (วิธีพิสูจน์พื้นฐานถูกค้นพบโดย [[Judy A. Holdener]])

 

* Kevin Hare, ''New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number.'' Preprint, 2005. อ่านได้จาก[http://www.math.uwaterloo.ca/~kghare/Preprints/ เว็บเพจของเขา]

 

[[nap:Nummero perfetto]]

[[nl:Perfect getal]]

[[no:Perfekt tall]]

[[pl:Liczba doskonała]]