ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนอดิศัย"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
SilvonenBot (คุย | ส่วนร่วม)
โรบอต แก้ไข: scn:Nùmmiru trascinnenti
บรรทัด 1:
{{รอการตรวจสอบ}}
{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
{{ขาดอ้างอิง}}
ในทาง[[คณิตศาสตร์]]นั้น '''จำนวนอดิศัย''' ({{lang-en|transcendental number}}) คือ [[จำนวนอตรรกยะ]]ที่ไม่ใช่[[จำนวนเชิงพีชคณิต]] ซึ่งหมายถึง[[จำนวน]]ที่ไม่ใช่ราก (คำตอบ) ของ[[สมการพหุนาม]]:
 
: <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0</math>
บรรทัด 7:
โดย <i>n</i> &ge; 1 และ[[สัมประสิทธิ์]] <math>a_j</math> เป็น[[จำนวนเต็ม]] (หรือ[[จำนวนตรรกยะ]] ซึ่งให้ความหมายเดียวกัน เนื่องจากเราสามารถ[[การคูณ|คูณ]]สัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย[[ตัวคูณร่วมน้อย]] เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนเต็ม), ซึ่งไม่เท่ากับ[[ศูนย์]]อย่างน้อยหนึ่งตัว.
 
<!--โอ้ คุณ Bact' การ edit ทับซ้อนของ wiki นี่น่ากลัวจริงๆ เกือบทำสิ่งที่ผมเขียนทั้งหมดหายไป โชคดีนะที่ Ctrl-C ไว้ก่อน ^__^' [[ผู้ใช้:Jung|จุง]] 12:42, 25 มี.ค. 2005 (UTC)-->
 
== จำนวนอดิศัยไม่สามารถนับได้ ==
ตามหลัก[[ทฤษฎีเซต]], เซตของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดนั้น''[[สามารถนับได้]]'' (สามารถสร้าง[[ฟังก์ชัน|ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง]]<!--tempolary use-->ระหว่างเซตของ[[จำนวนนับ]]และจำนวนเชิงพีชคณิตได้) ในขณะที่เซตของ[[จำนวนจริง]]ทั้งหมด''[[ไม่สามารถนับได้]]'' (ไม่สามารถสร้าง[[ฟังก์ชัน|ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง]]<!--tempolary use-->จากเซตของ[[จำนวนนับ]]ไปยังจำนวนจริงได้) ดังนั้นเซตของจำนวนอดิศัยทั้งหมดนั้นจึง''ไม่สามารถนับได้''
 
ในมุมมองดังกล่าว เราสามารถกล่าวได้ว่า "จำนวนอดิศัยทั้งหมดมีมากกว่าจำนวนเชิงพีชคณิต" อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันนั้นมีจำนวนอดิศัยเพียงไม่กี่กลุ่มเท่านั้นที่เรารู้จัก (ในทำนองเดียวกันกับ[[ปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้]]ใน[[ทฤษฎีการคำนวณได้]]) <!--เรารู้จัก "ปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้" (ซึ่งมีมากกว่า "[[ปัญหาที่สามารถคำนวณได้]]" อย่างมหาศาล ตามหลักทฤษฎีเซต) เพียงไม่กี่ปัญหาเท่านั้น แต่สิ่งที่แตกต่างจากทฤษฎีการคำนวณได้ก็คือ--> โดยทั่วไป, [[การพิสูจน์]]ว่าจำนวนหนึ่งๆ เป็นจำนวนอดิศัยนั้น''ยากมากมาก'' อย่างไรก็ตามคุณสมบัติของ[[จำนวนปกติ]]อาจจะช่วยในการระบุจำนวนอดิศัยจากจำนวนอื่นๆ ได้
 
== ประวัติการค้นพบจำนวนอดิศัย ==
จำนวนอดิศัยตัวแรกถูกค้นพบโดย [[Joseph Liouville]] <!-- !คุณ Phisite! ^__^ --> ในปี [[ค.ศ. 1844]] จึงมีชื่อเรียกว่า[[ค่าคงที่ Liouville]] <!--ผมชักรู้สึกว่าชื่อเรียกของค่าคงที่ต่างๆ ควรใช้คำว่า "ค่าคงที xxx" โดยxxx เป็นชื่อในภาษาอังกฤษไปเลยแฮะ เนื่องจากค่าคงที่มีเยอะมาก และเพื่อให้คนอ่านเข้าใจเพราะถ้าเราแปลเป็นไทยทั้งหมดคนอ่านอาจไม่เข้าใจว่าเราหมายถึงค่าคงที่ชนิดใด [[ผู้ใช้:Jung|จุง]] 13:01, 25 มี.ค. 2005 (UTC) -->
:<math>
\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000....
บรรทัด 23:
<!--in which the ''n''th digit after the decimal point is 1 if ''n'' is a [[factorial]] (i.e., 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...., etc.) and 0 otherwise. ไม่มีความจำเป็นต้องแปล--> <!--In [[1874]], [[Georg Cantor]] found the argument described above establishing the ubiquity of transcendental numbers. ?หมายความว่าอย่างไร?-->
 
== จำนวนอดิศัยที่สำคัญ ==
จำนวนอดิศัยอื่น ๆ ที่เรารู้จักมีดังต่อไปนี้:
 
* ''[[e (mathematical constant)|e]]<sup>a</sup>'' ในกรณีที่ <i>a</i> เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตที่ไม่เท่ากับศูนย์ (สังเกตว่า ''e'' เป็นจำนวนอดิศัย)
 
* [[Pi|&pi;]]
 
* ''e''<sup>&pi;</sup> [[ค่าคงที่ Gelfond]]
บรรทัด 34:
* [[ค่าคงที่ Gelfond-Schneider|2<sup>&radic;2</sup>]] หรือในรูปแบบทั่วไป ''[[Gel'fond-Schneider theorem|a<sup>b</sup>]]'' โดย <i>a</i> &ne; 0,1 และเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ <i>b</i> เป็นจำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นคำตอบสำหรับ[[ปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลเบิร์ต]].<!--ดู discussion ใน [[:en:hilbert's problems]]--> ในกรณีขยายของปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลเบิร์ต ที่ต้องการให้พิจารณาว่า ''a<sup>b</sup>'' เป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่เมื่อ <i>a</i> &ne; 0,1 และเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ <i>b</i> เป็นจำนวนอตรรกยะใด ๆ นั้นยังคงไม่มีใครสามารถให้คำตอบได้
 
* [[trigonometric function|sin]] (1)
 
* [[natural logarithm|ln]] (<i>a</i>) ถ้า <i>a</i> เป็นจำนวนตรรกยะบวกและ <i>a</i> &ne; 1
 
* &Gamma; (1/3) and &Gamma; (1/4) (ดู [[ฟังก์ชันแกมม่า]]).
 
* &Omega;, [[ค่าคงที่ Chaitin]].
 
* <math>\sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\qquad \beta > 1\; , </math>
:โดย <math>\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor</math> เป็น[[ฟังก์ชันพื้น]] (floor function). เช่น ถ้า &beta; = 2 ตัวเลขนี้คือ 0.11010001000000010000000000000001000...
 
== ความสำคัญของจำนวนอดิศัย ==
การค้นพบจำนวนอดิศัย สามารถนำไปใช้พิสูจน์ความ ''เป็นไปไม่ได้'' ในการแก้ปัญหาของคณิตศาสตร์กรีกโบราณหลายข้อที่เกี่ยวกับ [[การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน]] เช่น [[การสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสจากวงกลม]]<!--squarring the circle/quadrature of the circle ปัญหา classic ที่ต้องการเปรียบเทียบพื้นที่วงกลมกับสี่เหลี่ยมจตุรัส--> ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก &pi; เป็นจำนวนอดิศัย. ในขณะที่การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถสร้างได้แต่รูปที่มีความยาวในขอบเขตของจำนวนเชิงพีชคณิตเท่านั้น
 
บรรทัด 54:
-->
 
[[หมวดหมู่:จำนวน|อ]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน]]