|
::<math> \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) = \int_a^b f(x)\ dx</math>
== เอกลักษณ์เกี่ยวกับผลรวม ==
ตัวอย่างของต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ
* ::<math>\sum_{n=s}^t C\sdot f (n) = C\sdot \sum_{n=s}^t f (n) </math> เมื่อ ''C'' เป็น[[ค่าคงที่ใดคงตัว]] ๆ(ดูเพิ่มที่[[การคูณสเกลาร์]])
* ::<math>\sum_{ni=s}^tn f (nC) + \sum_{n=s}^{t} g (n-s+1) = \sum_{n=s}^t \left[f (nC) + g (n) \right]</math> เมื่อ ''C'' เป็นค่าคงตัว
* ::<math>\sum_{n=s}^t f (n) =+ \sum_{n=s+p}^{t+p} fg(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n-p) + g(n)\right]</math>
* ::<math>\sum_{n=s}^j f (n) + \sum_{n=j+1}^t f (n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f (n-p) </math>
* ::<math>\sum_{in=ms}^j f(n) x+ \sum_{n=j+1}^t f(n-m+1) x= \sum_{n=s}^t f(n)</math>
* ::<math>\sum_{i=1m}^n x = nx(n-m+1)x</math>
::<math>\sum_{i=1}^n x = nx</math> เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ ''n'' เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ ''x''
* <math>\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1) (n+m)}{2}</math> ▼* ::<math>\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1m}^n i = \frac{(n-m+1) (n+m)}{2}</math> (ดูเพิ่มที่[[อนุกรมเลขคณิต]])
* ::<math>\sum_{i=10}^n i^2 = \fracsum_{i=1}^n (n+1) (2n+1)}{6}i = \frac{(n)(n^3}{3} + \frac{n^21)}{2} + \frac{n}{6}</math> (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)
* ::<math>\sum_{i=1}^n i^32 = \left (\frac{n (n+1)(2n+1)}{26}\right) ^2 = \frac{n^43}{43} + \frac{n^32}{2} + \frac{n^2}{46} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2</math>
* ::<math>\sum_{i=1}^n i^43 = \left(\frac{n (n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} (2n+1) (3n\frac{n^3}{2} +3n-1) \frac{n^2}{304} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2</math>
*::<math>\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}</math>
::<math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1) ^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k} (n+1) ^{p-k+1}</math> เมื่อ <math>B_k</math> เป็น[[จำนวนแบร์นูลลี]]ตัวที่ ''k''
----
* <math>\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^{m}}{x-1}</math> ▼* ::<math>\sum_{i=0m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1x^m}{x-1}</math> (ดูเพิ่มที่[[อนุกรมเรขาคณิต]])
* ::<math>\sum_{i=0}^n i x^i = \frac{x}^{(n+1-x) ^2} (1- (n+1) }{x^n+nx^{n+-1}) </math> (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ ''m'' = 0)
* ::<math>\sum_{i=0}^n i^ 2 x^i = \frac{x}{(1-x) ^3} (12+x- (n+1) ^2x^n+ (2n^2+2n-1) x^{n+1}(n-n^2x^{n+2}1) </math>
* ::<math>\sum_{i=0}^n {n \choose frac{i}{2^i} = \frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}</math>
* ::<math>\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k}x^i = \frac{nx}{(1-x)^2} \choose k(x^n(n(x-1)-1)+1})</math>
▲* ::<math>\sum_{i= m0}^n i^2 x^i = \frac {x}{( n-m+1 -x) ^3} (1+x-(n+ m1) ^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1} -n^2x^{ n+2} )</math>
* <math>\left (\sum_i a_i\right) \left (\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j</math>
----
* <math>\left (\sum_i a_i\right) ^2 = 2\sum_i\sum_{j<i} a_ia_j + \sum_i a_i^2</math>
::<math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n</math> (ดูเพิ่มที่[[สัมประสิทธิ์ทวินาม]])
* <math>\sum_{n=a}^b f (n) = \sum_{n=b}^{a} f (n) </math> ▼* ::<math>\sum_{ni=s0}^t f (n) = \sum_{n=-t1}^ {-si \choose k} f= (-{n) \choose k+1}</math>
* ::<math>\sum_{n=0}^t fleft(\sum_i a_i\right)\left(2n) +\sum_j b_j\sum_{n=0}^t f (2n+1right) = \sum_{n=0}^{2t+1} f (n)sum_i\sum_j a_ib_j</math>
----
* <math>\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f (z\sdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\sdot t+z-1} f (n) </math> ▼* ::<math>\widehat{b}^{\left[(\sum_{n=s}^t f (n)sum_i a_i\right]})^2 = 2\prod_sum_i\sum_{n=sj<i}^t a_ia_j + \widehat{b}sum_i a_i^{f (n)}2</math>
* ::<math>\lim_{t\rightarrow \infty} \sum_{n=a}^tb f (n) = \sum_{n=b}^{a}^\infty f (n) </math>
* ::<math>\sum_{n=s}^t f(a + bn) ^n = \sum_{in=0-t}^n {n-s} \choose i}a^{f(-n-i)} b^i</math>
* ::<math>\sum_{n=b+10}^{\infty}t f(2n) + \fracsum_{bn=0}{n^2t - b^2}f(2n+1) = \sum_{n=10}^{2b2t+1} \frac{1}{2n}f(n)</math>
▲* ::<math>\sum_{n= a0}^ bt f\sum_{i=0}^{z-1} f( z\sdot n +i) = \sum_{n= b0}^{ az\sdot t+z-1} f (n) </math>
::<math>\widehat{b}^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t \widehat{b}^{f(n)}</math> (ดูเพิ่มที่[[ผลคูณ]]ของอนุกรม)
::<math>\lim_{t\rightarrow \infty} \sum_{n=a}^t f(n) = \sum_{n=a}^\infty f(n)</math> (ดูเพิ่มที่[[ลิมิตอนันต์]])
::<math>(a + b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i</math> สำหรับ[[การกระจายทวินาม]]
▲* ::<math>\sum_{ in= mb+1}^ {\infty} \frac{b}{n ^2 - xb^ i2} = \ frac{x^sum_{n +=1} -x^{ m}2b} \frac{ x-1 }{2n}</math>
▲* ::<math>\ sum_{n=0}^t left(\sum_{i= 01}^{ z-1n} f f_i( zx)\ sdot n+iright) ^\prime = \sum_{ ni= 01}^{ z\sdot t+z-1n} f f_i^\prime( nx) </math>
[[หมวดหมู่:เลขคณิต]]
| 